Fisica Teorica
Caduta Libera

Caduta Libera

Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | CADUTA LIBERA

In questa ultima lezione del capitolo, affrontiamo la caduta libera, ovvero un caso particolare di moto rettilineo uniformemente accelerato.

Analizzeremo tre casi specifici: caduta da un’altezza $h$ con partenza da fermo, lancio verso il basso e lancio verso l’alto. Ovviamente, tutto ciò verrà preceduto da una brevissima parte generale, in cui descriviamo tutte le caratteristiche necessarie per comprendere al meglio l’argomento. È bene specificare che, essendo un caso particolare del moto uniformemente accelerato, è necessario conoscere a menadito quest’ultimo.

Indice

Spiegazione:

L’Accelerazione nella Caduta Libera

Abbiamo già ampiamente ricordato che la caduta libera è in realtà un moto con accelerazione costante, in quanto è il moto di un corpo che cade sotto l’influenza della gravità. Ciò significa che tutti i corpi sono sottoposti alla medesima accelerazione, quella gravitazionale, purché la resistenza dell’aria sia talmente bassa da risultare trascurabile. In formule:

$$a=g=9,81\frac{m}{s^2}$$

Il primo a mostrare quanto scritto sopra fu Galileo Galilei, ma oggi ne abbiamo ulteriore conferma grazie ad esperimenti molto più sofisticati.

Caduta Libera da un’Altezza $h$ con partenza da fermo

Analizziamo la situazione, impostando il sistema di riferimento come un asse verticale orientato verso l’alto:

  • caduta libera: $a=-g$ (il segno meno sta a indicare che è verso opposto a quello scelto come positivo)
  • partenza da fermo: $v_0=0$
  • partenza da un’altezza: $x_0=h$

Dunque le nostre leggi del moto uniformemente accelerato sono:

$$\begin{cases} a=-g\\v=-gt\\x=h-\frac{1}{2}gt^2\end{cases}$$

Lavorando sulla legge oraria, possiamo ricavare il tempo di caduta, ovvero quando il corpo arriva in posizione $x=0$:

$$0=h-\frac{1}{2}gt_{caduta}^2$$

da cui:

$$t_{caduta}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

Sostituendo questo valore nella legge della velocità otteniamo la velocità con cui il corpo arriva a terra:

$$v=-gt_{caduta}=-g\sqrt{\frac{2h}{g}}=-\sqrt{2gh}$$

perciò la velocità con cui il corpo arriva a terra è pari a:

$$v=-\sqrt{2gh}$$

il segno meno sta solo a indicare che il corpo si sta muovendo in verso opposto a quello scelto come positivo nel sistema di riferimento

Seguono i grafici relativi al moto:

Diagramma spazio-tempo

Diagramma velocità-tempo

NB Il sistema può anche essere impostato come un asse verticale orientato verso il basso con l’origine coincidente nel punto da cui comincia la caduta. In questo caso il sistema a cui bisogna rifarsi è il seguente:

$$\begin{cases}a=g\\v=gt\\h=\frac{1}{2}gt^2\end{cases}$$

I grafici di riferimento cambieranno di conseguenza.

Lancio verso il Basso da un’Altezza $h$

Analizziamo la situazione, impostando il sistema di riferimento come un asse verticale orientato verso l’alto:

  • caduta libera: $a=-g$
  • lancio verso il basso: $-v_0$
  • partenza da un’altezza: $x_0=h$

il segno meno sta a indicare che è verso opposto a quello scelto come positivo

Dunque le nostre leggi del moto uniformemente accelerato sono:

$$\begin{cases} a=-g\\v=-v_0-gt\\x=h-v_0t-\frac{1}{2}gt^2\end{cases}$$

Per ricavare il tempo di caduta, dobbiamo imporre $x=0$ all’interno della legge oraria e risolvere l’equazione di secondo grado:

$$h-v_0t-\frac{1}{2}gt_{caduta}^2=0$$

Sostituendo poi il valore trovato nella legge della velocità otteniamo la velocità con cui il corpo arriva a terra.
Intuitivamente, il corpo arriverà a terra con un tempo minore rispetto al precedente caso in cui partiva da fermo (i calcoli confermerebbero questa impressione).

Seguono i grafici relativi al moto:

Diagramma spazio-tempo

Diagramma velocità-tempo

NB Anche in questo caso il sistema può essere impostato come un asse verticale orientato verso il basso con l’origine coincidente nel punto da cui comincia la caduta. In questo caso il sistema a cui bisogna rifarsi è il seguente:

$$\begin{cases}a=g\\v=v_0+gt\\h=v_0t+\frac{1}{2}gt^2\end{cases}$$

I grafici di riferimento cambieranno di conseguenza.

Lancio verso l’Alto

Analizziamo la situazione, impostando il sistema di riferimento come un asse verticale orientato verso l’alto:

  • caduta libera: $a=-g$
  • lancio verso l’alto: $-v_0$
  • posizione iniziale: $x_0=0$

Dunque le nostre leggi del moto uniformemente accelerato sono:

$$\begin{cases} a=-g\\v=v_0-gt\\x=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\end{cases}$$

Quando arriva alla massima altezza possibile, significa che, per un istante, la velocità del corpo si annulla. Pertanto, per ricavare il tempo di salita, dobbiamo imporre $v=0$ all’interno della legge della velocità:

$$0=v_0-gt_{salita}$$

da cui:

$$t_{salita}=\frac{v_0}{g}$$

Essendo uguale al tempo di discesa, posso affermare che il tempo di volo è pari a:

$$t_{volo}=\frac{2v_0}{g}$$

Per determinare l’altezza massima raggiunta, basta semplicemente sostituire il tempo di salita nell’equazione oraria:

$$x_{max}=v_0\left(\frac{v_0}{g}\right)-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0}{g}\right)^2$$

ovvero:

$$x_{max}=\frac{1}{2}\frac{v_0^2}{g}$$

Seguono i grafici relativi al moto:

Diagramma spazio-tempo

Diagramma velocità-tempo

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