Fisica Teorica
Moto Uniformemente Accelerato

Moto Uniformemente Accelerato

Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO

Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.

Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri. 

Indice

Spiegazione:

Definizione di Moto Uniformemente Accelerato

La definizione di Moto Uniformemente Accelerato è estremamente intuitiva, in quanto contenuta nella parola stessa. Si tratta infatti di un moto che presenta le seguenti caratteristiche:

  • traiettoria rettilinea
  • accelerazione costante

Dal momento che l’accelerazione è costante durante tutto il moto, essa ha sempre il medesimo valore, qualsiasi istante io consideri. Ciò significa che accelerazione media e istantanea coincidono:

$$a_{ist}=a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}=cost, \forall t$$

Possiamo riassumere il moto tramite il seguente sistema:

$$\begin{cases} a=cost \\ v=v_0+at \\ x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \end{cases}$$

Legge della Velocità

Essendo in questo moto la velocità variabile, è necessaria una legge che ci permetta di conoscerne il valore in ogni istante. Introduciamo perciò la legge della velocità, che, per il moto uniformemente accelerato, è data da:

$$v=v_0+at$$

Ricaviamo con i calcoli la legge della velocità. Imponiamo innanzitutto che $t_0=0$, $t_f=t$ e $v_f=v$. Partendo dalla definizione di accelerazione media e ricordando che, in questo caso, essa coincide con l’accelerazione istantanea $a$, ricavo che:

$$a=a_m=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_f-v_0}{t_f-t_0}$$

ovvero:

$$a=\frac{v-v_0}{t}$$

Esplicitando la velocità finale $v$:

$$v=v_0+at$$

Legge Oraria

Come abbiamo detto nella lezione introduttiva, per lavorare e comprendere un moto è necessario conoscerne la legge oraria.

Per quanto riguarda il moto rettilineo uniformemente accelerato è la seguente:

$$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

Ricaviamo con i calcoli la legge oraria. Imponiamo innanzitutto che $t_0=0$, $t_f=t$, $v_f=v$ e $x_f=x$. Partendo dalla definizione di velocità media ho che:

$$v_m=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x-x_0}{t}$$

Esplicitando la posizione $x$:

$$x=x_0+v_mt, (1)$$

Per il Teorema di Merton (che qui non trattiamo), sappiamo che la velocità media in un moto uniformemente accelerato è pari alla media aritmetica tra velocità iniziale e finale, perciò:

$$v_m=\frac{1}{2}(v_0+v)$$

Ricordando la legge della velocità ($v=v_0+at$), posso riscrivere questa relazione come:

$$v_m=\frac{1}{2}(v_0+v_0+at)=v_0+\frac{1}{2}at$$

Sostituendo quanto appena trovato nella $(1)$ otteniamo:

$$x=x_0+\left(v_0+\frac{1}{2}at\right)t$$

da cui:

$$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$

NB è possibile risolvere ogni tipo di esercizio riguardante questo argomento con questa semplice legge e facendone, quando necessario, le formule inverse

Relazione tra Velocità e Spostamento

Per onor di cronaca, riportiamo di seguito una formula che mette in relazione velocità, spostamento e accelerazione in un moto uniformemente accelerato. Nonostante sia molto comoda per la risoluzione degli esercizi, solitamente optiamo per utilizzare la legge della velocità e la legge oraria in quanto permettono di avere una maggior padronanza dei concetti e, in generale, di ciò che si sta facendo.
Ad ogni modo, la relazione è la seguente:

$$v^2-v_0^2=2a\Delta x$$

Diagrammi

Osserviamo ora i grafici.
In particolare, andiamo a guardare il diagramma spazio-tempo e quello velocità-tempo.

Nel diagramma spazio-tempo, il moto uniformemente accelerato $x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$ è rappresentato da una parabola che interseca l’asse verticale in $x_0$ e la cui concavità dipende dal valore di $a$:

  • se $a<0$ la parabola ha concavità verso il basso (A)
  • se $a>0$ la parabola ha concavità verso l’alto (B)
  • se $a=0$ il grafico si riduce a una retta e il corpo si muove di moto rettilineo uniforme ($\Delta v=0$, ovvero $v=cost$)
L’eventuale punto di intersezione tra due rette rappresenta il punto di incontro tra i due corpi in moto

Nel diagramma velocità-tempo, il moto uniformemente accelerato $v=v_0+at$ è rappresentato da una retta di coefficiente angolare $a$ e ordinata all’origine $v_0$

  • se $a>0$ la retta è inclinata verso l’alto (A)
  • se $a<0$ la retta è inclinata vero il basso (B)
  • se $a=0$ ci rifacciamo a quanto detto nel moto rettilineo uniforme

NB Tramite il diagramma velocità-tempo, è possibile determinare la distanza percorsa da un corpo, in quanto essa coincide all’area della parte di piano sottesa dalla curva tra i due istanti di nostro interesse

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