Fisica Teorica
Centro di Massa

Centro di Massa

Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | CENTRO DI MASSA

In questa lezione parliamo di centro di massa, un punto particolarmente importante dal momento che i sistemi spesso si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata in esso. Si tratta di un argomento non particolarmente complicato, dato che riprende concetti già affrontati, ma a cui bisogna prestare particolare attenzione e per cui bisogna avere delle basi solide anche dal punto di vista matematico.

Ne analizziamo innanzitutto le coordinate, per poi passare a vederne il moto, con tutto ciò che comporta (velocità, accelerazione, …)

Indice

Spiegazione:

Le Coordinate del Centro di Massa

Dato che ricopre un ruolo fondamentale nell’equilibrio di un corpo, è bene comprendere come determinare le sue coordinate. Non è detto infatti che esso si trovi al centro dell’oggetto, anzi, ciò succede solamente in alcuni casi particolari (se le masse sono uguali). Essendo un punto geometrico può addirittura non coincidere con uno dei punti fisici del sistema o del corpo.

In generale, se una massa $m_n$ si trova nella posizione $x_n$, la posizione del centro di massa lungo l’asse $x$ sarà data dalla media ponderata delle posizioni di tutte le masse:

$$X_{CM}=\frac{m_1x_1+m_2x_2+…+m_nx_n}{m_1+m_2+…+m_n}$$

Analogamente, la posizione lungo l’asse $y$ sarà:

$$Y_{CM}=\frac{m_1y_1+m_2y_2+…+m_ny_n}{m_1+m_2+…+m_n}$$

NB se il sistema di corpi si estendono in un una regione sottoposta ad un’accelerazione gravitazionale costante in ogni punto, il centro di massa coincide  con il baricentro

Moto del Centro di Massa

Analizziamo ora il moto del centro di massa, partendo dal definire le grandezze principali. Per farlo procederemo in maniera analoga a quanto fatto per le coordinate, ovvero utilizzando le medie pesate.
Partiamo con la velocità:

$$\vec v_{CM}=\frac{m_1\vec v_1+…+m_n\vec v_n}{m_1+…+m_n}$$

Ricordando che $\vec p=m\vec v$, possiamo riscriverla come

$$\vec v_{CM}=\frac{\vec p_1+…+\vec p_n}{m_1+…+m_n}=\frac{\vec p_{tot}}{m_{tot}}$$

da cui:

$$\vec p_{tot}=m_{tot}\vec v_{CM}$$

L’accelerazione:

$$\vec a_{CM}=\frac{m_1\vec a_1+…+m_n\vec a_n}{m_1+…+m_n}$$

Ricordando che $\vec F=m\vec a$ (secondo principio della dinamica), possiamo riscriverla come

$$\vec a_{CM}=\frac{\vec F_1+…+\vec F_n}{m_1+…+m_n}=\frac{\vec F_{tot}}{m_{tot}}$$

da cui:

$$\vec F_{tot}=m_{tot}\vec a_{CM}$$

Le Forze Esterne

Dalla lezione precedente, sappiamo che, in un sistema, la somma delle forze interne è sempre nulla, pertanto:

$$\vec F_{tot}=\vec F_{est}$$

Quindi, si possono presentare due situazioni:

  • $\vec F_{est}=0$: allora $\vec a_{CM}=0$ e il punto materiale si muove di moto rettilineo uniforme
  • $\vec F_{est}\neq 0$: allora il punto materiale accelera seguendo il secondo principio della dinamica

In quest’ultimo caso è possibile applicare il teorema dell’impulso:

$$\Delta \vec p_{tot}=\vec F_{est}\Delta t$$

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