Fisica Teorica
Impulso

Impulso

Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | IMPULSO

In questa prima lezione introduciamo l’impulso, una grandezza di cui probabilmente nessuno ha mai sentito parlare. Eppure si tratta di un argomento estremamente importante, specialmente in relazione alla quantità di moto. Dopo averne fornito una breve definizione, vedremo infatti che esiste un teorema che lega direttamente queste due grandezze e che risulterà particolarmente utile nella risoluzione degli esercizi.

Prima di cominciare, anticipiamo che, come avevamo fatto per il lavoro, anche in questo caso distingueremo tra forze costanti e forze variabili.

Indice

Spiegazione:

Impulso di una Forza Costante

Abbiamo già avuto a che fare con la nozione di forza costante quando abbiamo parlato di “Lavoro & Energia“, ma per chi non se lo ricordasse ricordiamo che essa è una forza che rimane inalterata al variare del tempo e dello spazio (modulo, direzione e verso rimangono gli stessi durante tutto l’intervallo considerato).

Sia $\vec F$ una forza costante applicata a un punto materiale per un determinato periodo di tempo $\Delta t$ si definisce impulso $\vec I$ della forza il prodotto tra il vettore $\vec F$ e $\Delta t$:

$$\vec I=\vec F\Delta t$$

Esso è dunque una grandezza vettoriale che presenta:

  • modulo: $I=F\Delta t$
  • direzione: coincidente con quella di $\vec F$
  • verso: coincidente con quello di $\vec F$, in quanto l’intervallo di tempo è una grandezza sempre positiva
Unità di Misura

Nel Sistema Internazionale, l’unità di misura adottata per questa grandezza è il newton per secondo ($N\cdot s$), in quanto esso è dato dal prodotto tra una forza e un tempo . In alternativa, ricordando che $1N=1kg\cdot\frac{m}{s^2}$, viene anche utilizzato il chilogrammo per metro al secondo:

$$N\cdot s=kg\cdot\frac{m}{s^2}\cdot s=kg\cdot\frac{m}{s}$$

Possiamo dunque concludere che impulso e quantità di moto hanno la stessa unità di misura

Teorema dell’Impulso

Il teorema dell’impulso afferma che:

dato un punto materiale di massa $m$ che si muove a velocità $\vec v_0$ e su cui agisce una forza costante $\vec F$, la variazione $\Delta \vec p$ della sua quantità di moto è pari all’impulso $\vec I$ della forza che agisce su di esso

In formule:

$$\Delta \vec p=\vec I$$

Dimostrazione del Teorema dell’Impulso

Sia dato un punto materiale di massa $m$ che si muove a velocità $\vec v_0$ e abbia dunque una quantità di moto iniziale $\vec p_0=m\vec v_0$. Ipotizziamo che su di esso agisca una forza costante $\vec F$ per un determinato intervallo di tempo $\Delta t$. Questa provoca una variazione della quantità di moto $\Delta \vec p = \vec p_f-\vec p_0$.

Applico il secondo principio della dinamica:

$$\vec F=m\vec a$$

Ricordando che l’accelerazione è data: $\vec a=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}$, ho che:

$$\vec F=m\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}$$

da cui:

$$\vec F\Delta t=m\Delta \vec v$$

Se osserviamo per bene l’equazione ci accorgiamo che al primo membro abbiamo l’impulso della forza che agisce sul punto materiale e al secondo la sua quantità di moto. Perciò, concludiamo che:

$$\vec I=\Delta \vec p$$

Impulso di una Forza Variabile

Analizziamo ora il caso in cui la forza non sia più costante, bensì variabile.

In generale, il modulo dell’impulso $I$ compiuto da una forza $\vec F$ a partire da un istante $t_0$  fino a $t_1$, può essere visto come l’area della regione di piano sottesa dal grafico $F-t$ e compresa tra il punto iniziale $t_0$ e il punto finale $t_1$ dell’intervallo di tempo $\Delta t$.
In particolare:

se la forza $\vec F$ è costante, il grafico $F-t$ è una retta e quindi l’impulso $I$ sarà pari all’area del rettangolo

se la forza $\vec F$ non è costante, il grafico $F-t$ è una curva e quindi l’impulso $I$ sarà pari all’area della figura che si viene a creare; matematicamente si potrebbe rendere necessario l’utilizzo degli integrali

Ma non è finita qui.
Esiste infatti una precisa forza media $\vec F_m$ tale da produrre, nello stesso intervallo di tempo, il medesimo impulso prodotto dalla forza variabile:

$$\vec F_m\Delta t=\vec I$$

Per questa forza media vale il teorema dell’impulso citato precedentemente:

$$\Delta \vec p = \vec F_m\Delta t$$

Graficamente, la forza media si comporta come una forza costante (la curva rossa è la forza variabile $\vec F$, mentre quella blu è la forza media $\vec F_m$ corrispondente):

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