Fisica Teorica
Urto Elastico

Urto Elastico

Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | URTO ELASTICO

In questa lezione andiamo a introdurre il concetto di urto elastico.

Prima di cominciare è bene però specificare per bene cosa sia un urto. Esso è una situazione in cui due corpi differenti si scontrano, colpendosi tra di loro. Durante l’impatto, si generano delle forze d’urto che vengono chiamate forze impulsive (per via del fatto che il loro modulo aumenta rapidamente fino a un massimo molto grande per poi tornare, altrettanto rapidamente, a zero) e che rendono trascurabili le forze esterne. Si viene dunque a creare una sorta di sistema isolato, tale per cui la quantità di moto totale si conserva nello scontro.

Indice

Spiegazione:

Definizione di Urto Elastico

Enunciamo la definizione dell’argomento principale della lezione:

l’urto elastico è un urto in cui si conserva sia la quantità di moto $\vec p$ sia l’energia cinetica $K$

Ciò significa che la quantità di moto e l’energia cinetica prima dell’urto sono uguali a se stesse dopo l’urto. In formule:

$$\begin{cases}\vec p_{{tot}_0}=\vec p_{{tot}_f}\\\\K_{{tot}_0}=K_{{tot}_f}\end{cases}$$

Nel caso in cui i corpi coinvolti nell’urto siano due, la precedente formula può essere vista come:

$$\begin{cases}\vec p_{1_0}+\vec p_{2_0}=\vec p_{1_f}+\vec p_{2_f}\\\\K_{1_0}+K_{2_0}=K_{1_f}+K_{2_f}\end{cases}$$

Di seguito analizziamo i possibili casi che ci si possono presentare durante la risoluzione degli esercizi.

Caso Unidimensionale

Partiamo dal caso più semplice. Per comodità imponiamo $v_0=v$ e $v_f=V$.

Consideriamo due automobili che si urtano elasticamente. Applichiamo la conservazione della quantità di moto e dell’energia cinetica:

$$\begin{cases}m_1V_1+m_2V_2=m_1v_1+m_2v_2\\\\\frac{1}{2}m_1V_1^2+\frac{1}{2}m_2V_2^2=\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\end{cases}$$

Tramite semplici passaggi matematici otteniamo:

$$\begin{cases}m_1(V_1-v_1)=m_2(v_2-V_2)\\\\m_1(V_1^2-v_1^2)=m_2(v_2^2-V_2^2)\end{cases}$$

che possiamo riscrivere come:

$$\begin{cases}m_1(V_1-v_1)=m_2(v_2-V_2)\\\\m_1(V_1-v_1)(V_1+v_1)=\end{cases}$$

$$\begin{cases}…\\=m_2(v_2-V_2)(v_2+V_2)\end{cases}$$

Dividiamo membro a membro la seconda equazione per la prima e isoliamo $V_2=V_1+v_1-v_2$. Sostituiamo ora nella prima, facciamo i calcoli e risolviamo il sistema. Alla fine otterremo che le velocità finali dopo l’urto dei due corpi sono:

$$V_1=\frac{2m_2v_2+(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2}$$

$$V_2=\frac{2m_1v_1+(m_2-m_1)v_2}{m_1+m_2}$$

Caso Unidimensionale con Bersaglio Fermo

Si tratta di un caso particolare di quello precedente, in cui il secondo corpo è fermo e quindi la sua velocità iniziale è nulla $v_2=0$. Dunque

$$V_1=\frac{(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2}$$

$$V_2=\frac{2m_1v_1}{m_1+m_2}$$

Per quanto riguarda le masse, invece, distinguiamo ulteriori due casi particolari:

  • se $m_2$ è molto più piccola di $m_1$ allora la si può porre pari a zero: $m_2=0$
  • se $m_1$ è molto più piccola di $m_2$ allora la si può porre pari a zero: $m_1=0$
Caso Bidimensionale (o Urti Obliqui)

Arriviamo ora al caso più complicato, quello bidimensionale. Per determinare le velocità finali dei corpi è necessario infatti analizzare le componenti dei vettori prima e dopo l’urto. Per non complicarci troppo la vita, prenderemo in considerazione solamente l’urto di un oggetto contro un bersaglio fermo ($v_2=0$), distinguendo però quando hanno masse uguali e diverse

Imponiamo le solite condizioni dell’urto elastico, tenendo però conto che per quanto riguarda la conservazione della quantità di moto dobbiamo considerare sia la componente $x$ che la componente $y$:

$$\begin{cases} p_{{1x}_0}+p_{{2x}_0}=p_{{1x}_f}+p_{{2x}_f} \\ \\p_{{1y}_0}+p_{{2y}_0}=-p_{{1y}_f}+p_{{2y}_f}\\ \\\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2=\frac{1}{2}m_1V_1^2+\frac{1}{2}m_2V_2^2\end{cases}$$

da cui (essendo $v_2=0$):

$$\begin{cases} m_1v_1=m_1V_1\cos\alpha_1+m_2V_2\cos\alpha_2 \\ \\0=-m_1V_1\sin\alpha_1+m_2V_2\sin\alpha_2 \\ \\m_1v_1^2=m_1V_1^2+m_2V_2^2\end{cases}$$

Come ben vediamo si tratta di un sistema alquanto complesso, ben 7 incognite. Per risolverlo si rende necessaria la conoscenza di almeno 4 di queste grandezze.

Nel caso in cui le due masse siano uguali, la situazione si semplifica notevolmente. Prendiamo infatti il sistema precedente e lo semplifichiamo, tenendo conto che $m_1=m_2$. Perciò:

$$\begin{cases} v_1=V_1\cos\alpha_1+V_2\cos\alpha_2 \\ \\0=-V_1\sin\alpha_1+V_2\sin\alpha_2 \\ \\v_1^2=V_1^2+V_2^2\end{cases}$$

Soffermandoci un attimo sull’ultima equazione, notiamo che le tre velocità formano un terna pitagorica, il che significa che le direzioni del moto dei corpi dopo l’urto sono perpendicolari:

$$\vec V_1\perp \vec V_2$$

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