Un satellite ruota attorno alla Terra in
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un satellite ruota attorno alla Terra in un’orbita circolare ad un’altezza di 23,6 x 10^3 km dalla superficie terrestre. La forza centripeta che mantiene l’orbita circolare del satellite ha modulo 333 N.
1. Calcola la massa del satellite.
2. Calcola il periodo del satellite.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un satellite che ruota attorno alla Terra in un’orbita che possiamo assimilare ad una circonferenza. Sappiamo che la forza centripeta è direttamente proporzionale alla massa e al quadrato della velocità. Sappiamo anche che la velocità di un satellite, situato a una determinata altezza, è facilmente ottenibile coi dati forniti dal quesito. Instauriamo perciò una relazione da cui poter esplicitare la massa del satellite stesso. A questo punto, determiniamo quindi il periodo del satellite, applicando la terza legge di Keplero sul satellite e sostituendo le grandezze con i rispettivi valori numerici. Si tratta di un esercizio completo, in cui è dunque necessario avere delle basi solide. Qualora non si riuscisse a risolvere il problema, è quindi consigliabile ripassare i singoli argomenti presenti.
Risoluzione dell’Esercizio:
So che la forza centripeta si calcola come:
$$F_c=m\frac{v^2}{r}$$
Sapendo che la velocità di un satellite si trova con la seguente formula:
$$v=\sqrt{\frac{GM_T}{r}}$$
ho che:
$$F_c=m\frac{GM_T}{r^2}$$
Ricordando che $r=r_T+h$, posso esplicitare la massa come:
$$m=\frac{F_c(r_T+h)^2}{GM_T}
=$$
$$\frac{333N\times(6,371\times10^6m+23,6\times10^6m)^2}{6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times5,972\times10^{24}kg}$$
$$=751kg$$
A questo punto applico la terza legge di Keplero sul satellite e ottengo che il periodo del satellite è dato da:
$$\frac{r^3}{T^2}
=
\frac{GM_T}{4\pi^2}$$
da cui:
$$T=\sqrt{\frac{4\pi^2(r_T+h)^3}{GM_T}}=$$
$$=\sqrt{\frac{4\pi^2(6,371\times10^6m+23,6\times10^6m)^3}{6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times5,972\times10^{24}kg}}$$
$$=5,17\times10^4s$$
