Un satellite artificiale della massa di 3.78
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un satellite artificiale della massa di 3.78 x 10^4 kg percorre attorno alla Terra un’orbita circolare che dura 10,3 h. Grazie all’azione dei razzi, esso viene poi portato su una seconda orbita circolare con una durata di 15,2 h. Calcola il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale della Terra durante il cambio di orbita del satellite (considera costante la massa del satellite).
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un satellite artificiale della massa di 3.78 x 10^4 kg che orbita attorno alla Terra. Dopo aver espresso i periodi in secondi, possiamo applicare la terza legge di Keplero in maniera tale da ottenere i raggi delle due orbite. A questo punto calcoliamo l’energia potenziale gravitazionale iniziale e quella finale. Sapendo che il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale della Terra durante il cambio di orbita del satellite è pari all’opposto della variazione di energia potenziale, procediamo aritmeticamente e otteniamo il risultato richiesto.
Risoluzione dell’Esercizio:
Converto i due periodi in secondi:
$$T_1=10,3h=10,3\times3600s=37080s$$
$$T_2=15,2h=15,2\times3600s=54720s$$
Determino il raggio dell’orbita iniziale partendo dalla terza legge di Keplero applicata ai satelliti:
$$\frac{r^3}{T^2}=\frac{GM_T}{4\pi^2}$$
da cui:
$$r_1
=
\sqrt[3]
{
\frac{GM_TT_1^2}{4\pi^2}
}
=$$
$$=\sqrt[3]
{…}
=
2,4\times10^{7}m$$
(non riportiamo i calcoli per motivi di spazio, ma sono presenti sul file PDF allegato)
Procedo in maniera analoga per la seconda orbita:
$$r_2
=
\sqrt[3]
{
\frac{GM_TT_2^2}{4\pi^2}
}
=$$
$$=
\sqrt[3]
{
…
}
=
3,1\times10^{7}m$$
(non riportiamo i calcoli per motivi di spazio, ma sono presenti sul file PDF allegato)
Sapendo che, in generale, l’energia potenziale gravitazionale di un satellite rispetto alla Terra è data dalla seguente formula:
$$U=-G\frac{mM_T}{r}$$
Posso scrivere la variazione di energia potenziale gravitazionale come:
$$\Delta U = U_f-U_0
=
-G\frac{mM_T}{r_2}
–
\left(-G\frac{mM_T}{r_1}\right)$$
$$=-G{mM_T}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_
1}\right)=$$
$$=-6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}
\times3,78\times10^4kg
\times$$
$$\times5,972\times10^{24}kg
\times
\Biggl(\frac{1}{3,1\times10^7m}-$$
$$\frac{1}{2,4\times10^7m}\Biggr)=1,42\times10^{11}J$$
Sapendo che il lavoro è opposto alla variazione di energia potenziale, ho che:
$$W=-\Delta U=-1,42\times10^7J$$
