Il campo gravitazionale di Saturno
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Il campo gravitazionale di Saturno (diametro medio = 1,16 x 10^8 m) a 9,00 x 10^7 m dalla sua superficie ha modulo pari a 1,72 m/s2.
1. Determina il valore dell’accelerazione di gravità media sul suolo di Saturno.
2. A che distanza dal suolo di Saturno si avrà un campo gravitazionale di modulo pari a metà di quello sulla superficie terrestre?
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene mostrato l’accelerazione gravitazionale di Saturno ad una certa distanza dalla superficie. Conosciamo la formula che esprime il campo gravitazionale gravitazionale in funzione della massa del pianeta e della distanza del corpo dal centro di esso. Esplicitiamo dunque la massa del pianeta e calcolarla. A questo punto possiamo “giocare” con la formula citata sopra imponendo le distanze che ci vengono richieste dal testo. Dapprima utilizziamo il raggio di Saturno (r+h, con h=0) e poi l’altezza tale da avere un campo gravitazionale pari alla metà di quello terrestre.
Risoluzione dell’Esercizio:
So che il modulo del campo gravitazionale rispetto a un pianeta si calcola tramite l’apposita formula (sia $d$ la distanza dal centro di del piante e $d=r_p+h$):
$$g=G\frac{M_p}{d^2}
=G\frac{M_p}{(r_p+h)^2}$$
Determino dunque la massa di Saturno partendo dalla formula appena scritta e ricordando che il raggio è pari a $r=\frac{1,16\times10^8m}{2}=5,8\times10^7m$:
$$g
=
G\frac{M_S}{(r_S+h)^2}$$
da cui:
$$M_S=\frac{g(r_S+h)^2}{G}
=$$
$$
\frac{1,72\frac{m}{s^2}\times(9,00\times10^7m+5,8\times10^7m)^2}{6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}}$$
$$=
5,65\times10^{26}kg$$
Determino ora il valore dell’accelerazione gravitazione media sul suolo di Saturno, ovvero ad un’altezza pari a $h=0$. Ottengo che:
$$g_S
=
G\frac{M_S}{(r_S+h)^2}
=$$
$$
6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}\times\frac{5,65\times10^{26}kg}{(5,80\times10^7m+0)^2}$$
$$=11,2\frac{m}{s^2}$$
Determino infine la distanza $h_1$ dove si avrà un’accelerazione gravitazionale pari alla metà di quella terrestre:
$$g_S=\frac{g_T}{2}
=
G\frac{M_S}{(r_S+h_1)^2}$$
da cui:
$$h_1
=
\sqrt{\frac{2GM_S}{g_T}}-r_S
=$$
$$=
\sqrt
{…}-5,8\times10^7m
=
2,97\times10^7m$$
(i calcoli non sono interamente riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
