Un filo metallico lungo e sottile possiede
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un filo metallico lungo e sottile possiede una densità lineare di carica, cioè una carica per unità di lunghezza, pari a +5,50 x 10^-7 C/m.
1. Determina il flusso del campo elettrico attraverso una superficie gaussiana cilindrica di raggio 43 cm e lunghezza 71 cm centrata sul filo.
2. Calcola l’intensità del campo elettrico sulla porzione curva della superficie gaussiana.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un filo metallico lungo e sottile che possiede una densità lineare di carica nota. Essendo in presenza di una superficie gaussiana, possiamo applicare l’apposito teorema di Gauss, che afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa è pari al rapporto tra la carica totale e la costante dielettrica nel vuoto. A questo punto determiniamo l’intensità del campo elettrico sulla porzione curva partendo dalla definizione classica di flusso e facendone la formula inversa.
Risoluzione dell’Esercizio:
Essendo una superficie gaussiana, posso applicare l’apposito teorema di Gauss. Esso afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una qualunque superficie chiusa è dato da:
$$\Phi(\vec E)=\frac{Q_{tot}}{\epsilon_0}$$
Sapendo che la carica sul filo metallico è esprimibile come:
$$Q=\lambda l$$
Posso riscrivere la precedente relazione come:
$$\Phi(\vec E)=\frac{\lambda l}{\epsilon_0}
=$$
$$=\frac{5,50\times10^{-7}\frac{C}{m}\times0,71m}{8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}}=$$
$$=4,4\times10^4\frac{Nm^2}{C}$$
Per definizione il flusso è esprimibile come:
$$\Phi(\vec E)=ES\cos\alpha$$
Dato che devo determinare il campo elettrico rispetto alla superficie curva, l’angolo $\alpha=90^\circ$ in ogni punto rispetto al filo, perciò:
$$\Phi(\vec E)=ES$$
da cui:
$$E=\frac{\Phi(\vec E)}{S}$$
La superficie laterale del cilindro si calcola come prodotto tra il perimetro di base e l’altezza del cilindro stesso (ovvero la lunghezza del filo):
$$E=\frac{\Phi(\vec E)}{2\pi r l}
=$$
$$=\frac{4,4\times10^4\frac{Nm^2}{C}}{2\pi \times 0,43m\times 0,71m}
=
2,3\times10^4\frac{N}{C}$$
