Tre moli di idrogeno che hanno massa
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Tre moli di idrogeno, che hanno massa molare M = 2,016 x 10^-3 kg/mol, si trovano alla pressione p = 6,500 x 10^5 Pa e occupano un volume V = 2,000 L. L’energia interna di n moli di gas di van der Waals biatomico è data dalla formula:
$$U=n\left(\frac{5}{2}RT-M\frac{a}{V_s}\right)+cost$$
Calcola, a meno della costante additiva, l’energia interna del gas.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono tre moli di idrogeno che hanno massa molare M = 2,016 x 10^-3 kg/mol. Calcoliamo innanzitutto la massa di idorgeno presente facendo il prodotto tra numero di moli e massa molare. Determiniamo ora la temperatura del gas applicando l’equazione di stato di van der Waals. Applichiamo infine la formula relativa all’energia interna che ci viene fornita dal testo. Sostituiamo i valori numerici di cui disponiamo, facciamo i calcoli e otteniamo così il risultato richiesto.
Risoluzione dell’Esercizio:
Calcolo la massa di idrogeno presente facendo il prodotto tra numero di moli e massa molare:
$$m=nM=$$
$$=3mol\times2,016\times10^{-3}\frac{kg}{mol}=$$
$$=6,048\times10^{-3}kg$$
Determino ora la temperatura del gas applicando l’equazione di stato di van der Waals:
$$\left(p+\frac{a}{V_s^2}\right)(V_s-b)=\frac{R}{M}T$$
dove il volume specifico è dato da $\frac{V}{m}$:
$$\left(p+\frac{m^2a}{V^2}\right)\left(\frac{V}{m}-b\right)=\frac{R}{M}T$$
da cui:
$$T
=
\frac{M}{R}\left(p+\frac{m^2a}{V^2}\right)\left(\frac{V}{m}-b\right)
=$$
$$=\frac{2,016\times10^{-3}\frac{kg}{mol}}{8,3145\frac{J}{mol\cdot K}}\times\Biggl(6,500\times10^5Pa+$$
$$+\frac{(6,048\times10^{-3}kg)^2\times5987\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}{(2,000\times10^{-3}m^3)^2}\Biggr)\times$$
$$\times\left(\frac{2,000\times10^{-3}m^3}{6,048\times10^{-3}kg}-131\times10^{-4}\frac{m^3}{kg}\right)=$$
$$=54,26K$$
Determino infine l’energia interna del gas:
$$U=n\left(\frac{5}{2}RT-M\frac{a}{V_s}\right)
=$$
$$=n\left(\frac{5}{2}RT-M\frac{ma}{V}\right)
=3mol\Biggl(\frac{5}{2}\times$$
$$\times8,3145\frac{J}{mol\cdot K}\times54,26K-2,016\times$$
$$10^{-3}\frac{kg}{mol}\times\frac{6,048\times10^{-3}kg\times5987\frac{m^5}{kg\cdot s^2}}{2,000\times10^{-3}m^3}\Biggr)$$
$$=3,27\times10^3J$$
