Il vettore C = 2x + 5y
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Il vettore $\vec C = 2 \hat x + 5 \hat y$ è il risultato della somma dei vettori $\vec A = \hat x – \hat y$ e $\vec B$ . Determina l’espressione di $\vec B$ in componenti cartesiane.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Il vettore C = 2x + 5y
Concetti Chiave Utilizzati:
1. Somma di Vettori: La somma di due vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ è un vettore $\vec{C}$ tale che $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$. Questo può essere fatto sommando le rispettive componenti lungo gli assi cartesiani.
\[
C_x = A_x + B_x \quad \text{e} \quad C_y = A_y + B_y
\]
2. Componenti Cartesiane: Un vettore $\vec{A}$ può essere espresso come la somma delle sue componenti lungo gli assi cartesiani, cioè $\vec{A} = A_x \hat{x} + A_y \hat{y}$, dove $\hat{x}$ e $\hat{y}$ sono i versori degli assi x e y, rispettivamente.
Dati dell’Esercizio:
– $\vec{C} = 2\hat{x} + 5\hat{y}$
– $\vec{A} = \hat{x} – \hat{y}$
– $\vec{B}$ è sconosciuto e dobbiamo determinarlo.
Passaggi della Risoluzione:
Passo 1: Espressione di $\vec{C}$ in Componenti Cartesiane
Abbiamo già $\vec{C}$ espresso in componenti cartesiane come dato dell’esercizio:
\[
\vec{C} = 2\hat{x} + 5\hat{y}
\]
Passo 2: Espressione di $\vec{A}$ in Componenti Cartesiane
Anche $\vec{A}$ è già espresso in componenti cartesiane:
\[
\vec{A} = \hat{x} – \hat{y}
\]
Passo 3: Trovare $\vec{B}$ Utilizzando la Somma dei Vettori
Sappiamo che:
\[
\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}
\]
Quindi, possiamo isolare $\vec{B}$ come:
\[
\vec{B} = \vec{C} – \vec{A}
\]
Ora, sostituendo le espressioni di $\vec{C}$ e $\vec{A}$ e sottraendo componente per componente, otteniamo:
\[
\vec{B} = (2\hat{x} + 5\hat{y}) – (\hat{x} – \hat{y})
\]
\[
\vec{B} = (2\hat{x} + 5\hat{y}) – \hat{x} + \hat{y}
\]
\[
\vec{B} = \hat{x} + 6\hat{y}
\]
Risultato:
L’espressione di $\vec{B}$ in componenti cartesiane è:
\[
\vec{B} = \hat{x} + 6\hat{y}
\]
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato la proprietà della somma dei vettori e le loro espressioni in componenti cartesiane per trovare il vettore $\vec{B}$. Sottraendo componente per componente (cioè, sottraendo le componenti lungo x e lungo y separatamente) abbiamo trovato l’espressione di $\vec{B}$.
In termini più semplici, abbiamo preso il vettore risultante $\vec{C}$ e abbiamo sottratto il vettore $\vec{A}$ per trovare il vettore $\vec{B}$. Questo perché se $\vec{A} + \vec{B} = \vec{C}$, allora $\vec{B} = \vec{C} – \vec{A}$.
