I vettori A = 2x + y
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
I vettori $\vec A = 2\hat x + \hat y$ e $\vec B = -\hat x -3\hat y$ formano un angolo $\alpha$. Calcola $\sin\alpha$
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – I vettori A = 2x + y
Concetti Chiave Utilizzati:
1. Prodotto Scalare:
\[
\vec A \cdot \vec B = A B \cos\theta
\]
dove \(\theta\) è l’angolo tra i vettori \(\vec A\) e \(\vec B\).
2. Modulo di un Vettore:
Il modulo di un vettore \(\vec A\) (indicato con \(A\)) è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti:
\[
A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}
\]
3. Angolo tra Vettori:
Possiamo riscrivere la formula del prodotto scalare per trovare il coseno dell’angolo tra due vettori:
\[
\cos\theta = \frac{\vec A \cdot \vec B}{A B}
\]
e quindi utilizzare la relazione trigonometrica:
\[
\sin\theta = \sqrt{1 – \cos^2\theta}
\]
per trovare il seno dell’angolo.
Dati dell’Esercizio:
– \(\vec A = 2\hat x + \hat y\)
– \(\vec B = -\hat x -3\hat y\)
Passaggi della Risoluzione:
1. Calcolo del Prodotto Scalare:
Utilizzando la formula del prodotto scalare e i vettori dati:
\[
\vec A \cdot \vec B = A_x B_x + A_y B_y
\]
2. Calcolo dei Moduli dei Vettori:
Utilizzando la formula del modulo per entrambi i vettori:
\[
A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}
\]
\[
B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2}
\]
3. Calcolo del Coseno dell’Angolo tra i Vettori:
Utilizzando la formula per il coseno dell’angolo tra i vettori:
\[
\cos\alpha = \frac{\vec A \cdot \vec B}{A B}
\]
4. Calcolo del Seno dell’Angolo tra i Vettori:
Utilizzando la relazione trigonometrica tra seno e coseno:
\[
\sin\alpha = \sqrt{1 – \cos^2\alpha}
\]
Calcoli:
1. Prodotto Scalare:
\[
\vec A \cdot \vec B = (2)(-1) + (1)(-3) = -2 – 3 = -5
\]
2. Modulo di \(\vec A\) e \(\vec B\):
\[
A = \sqrt{2^2 + 1^2}
\]
\[
B = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2}
\]
3. Coseno dell’Angolo:
\[
\cos\alpha = \frac{\vec A \cdot \vec B}{A B}
\]
4. Seno dell’Angolo:
\[
\sin\alpha = \sqrt{1 – \cos^2\alpha}
\]
Risultati dei Calcoli:
1. Modulo di \(\vec A\) e \(\vec B\):
\[
A = \sqrt{5}, \quad B = \sqrt{10}
\]
2. Coseno dell’Angolo:
\[
\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}
\]
3. Seno dell’Angolo:
\[
\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Spiegazione:
1. Prodotto Scalare:
Abbiamo calcolato il prodotto scalare tra \(\vec A\) e \(\vec B\) sommando i prodotti delle rispettive componenti. Questo ci dà una misura della “somiglianza” tra i due vettori: un prodotto scalare negativo indica che i vettori sono orientati in modo opposto l’uno rispetto all’altro.
2. Modulo dei Vettori:
Abbiamo calcolato il modulo (o lunghezza) dei vettori \(\vec A\) e \(\vec B\) utilizzando la formula della radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti. Questo ci dà una misura della “lunghezza” dei vettori nello spazio.
3. Coseno dell’Angolo:
Abbiamo utilizzato il prodotto scalare e i moduli per calcolare il coseno dell’angolo tra i vettori. Il coseno dell’angolo ci dà una misura dell’angolo tra i due vettori: un coseno negativo indica che l’angolo è ottuso (maggiore di 90 gradi).
4. Seno dell’Angolo:
Infine, abbiamo utilizzato il coseno dell’angolo per trovare il seno dell’angolo, che ci dà un’altra misura dell’angolo tra i vettori. Il seno dell’angolo è positivo nel primo e nel secondo quadrante, indicando che l’angolo \(\alpha\) è acuto.
Risposta Finale:
\[
\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Questo significa che l’angolo \(\alpha\) tra i vettori \(\vec A\) e \(\vec B\) è tale che il suo seno è \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Ricordando che il coseno dell’angolo è negativo e il seno è positivo, possiamo dedurre che \(\alpha\) è un angolo ottuso, specificamente di 135 gradi (poiché \(\sin 135^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}\) e \(\cos 135^\circ = -\frac{1}{\sqrt{2}}\)).
