Considera i vettori: A = -3x + 7y
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Considera i vettori: $\vec A = -3\hat x + 7\hat y$ , $\vec B = -2\hat x – 15\hat y$ . Determina il loro prodotto scalare $\vec A \cdot \vec B$.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità , che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità . I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Considera i vettori: A = -3x + 7y
Concetto Chiave 1: Prodotto Scalare tra Vettori
Il prodotto scalare tra due vettori $\vec A$ e $\vec B$ è dato dalla formula:
\[ \vec A \cdot \vec B = A_x B_x + A_y B_y \]
dove $A_x$, $A_y$, $B_x$, e $B_y$ sono le componenti dei vettori $\vec A$ e $\vec B$ lungo gli assi cartesiani $x$ e $y$ rispettivamente.
Dati dell’Esercizio:
– $\vec A = -3\hat x + 7\hat y$
– $\vec B = -2\hat x – 15\hat y$
Passaggio 1: Identificare le Componenti dei Vettori
Le componenti dei vettori $\vec A$ e $\vec B$ lungo gli assi $x$ e $y$ sono già fornite nel testo dell’esercizio:
– $A_x = -3$, $A_y = 7$
– $B_x = -2$, $B_y = -15$
Passaggio 2: Calcolare il Prodotto Scalare
Utilizzando la formula del prodotto scalare e sostituendo le componenti dei vettori, possiamo calcolare il prodotto scalare $\vec A \cdot \vec B$ come segue:
\[ \vec A \cdot \vec B = A_x B_x + A_y B_y \]
\[ = (-3)(-2) + (7)(-15) \]
Procediamo con il calcolo numerico.
\[ \vec A \cdot \vec B = (-3)(-2) + (7)(-15) = -99 \]
Risultato:
Il prodotto scalare tra i vettori $\vec A$ e $\vec B$ è $-99$.
Spiegazione:
Il prodotto scalare, anche noto come prodotto punto, tra due vettori fornisce un numero reale (una grandezza scalare) e non un vettore. Il risultato può essere positivo, negativo o zero, a seconda dell’orientamento dei vettori e delle loro componenti. In questo caso, il risultato è $-99$, che è un numero negativo. Questo non implica una direzione, ma indica che i vettori $\vec A$ e $\vec B$ sono orientati in modo tale che il loro prodotto scalare è negativo.
Riepilogo:
– Abbiamo utilizzato il concetto di prodotto scalare e le componenti dei vettori lungo gli assi cartesiani per calcolare il prodotto scalare.
– Abbiamo identificato le componenti dei vettori $\vec A$ e $\vec B$ come $A_x = -3$, $A_y = 7$, $B_x = -2$, e $B_y = -15$.
– Abbiamo applicato la formula del prodotto scalare e calcolato numericamente il risultato come $-99$.
