I vettori A e B formano un angolo α = 35°
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
I vettori $\vec A$ e $\vec B$ formano un angolo α = 35° tra loro. I moduli dei due vettori sono A = 9,0 e B = 7,0. Calcola il modulo del prodotto vettoriale $\vec A \times \vec B$. Calcola $A_{\perp}$ e $B_{\perp}$.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – I vettori A e B formano un angolo α = 35°
Concetti Chiave Utilizzati:
1. Prodotto Vettoriale:
Formula:
\[
\vec{A} \times \vec{B} = A B \sin\theta
\]
dove \(\theta\) è l’angolo tra i vettori e \(\hat{n}\) è un vettore unitario perpendicolare al piano formato da \(\vec{A}\) e \(\vec{B}\).
2. Componenti Perpendicolari di un Vettore:
\(A_{\perp}\) e \(B_{\perp}\) rappresentano le componenti dei vettori \(\vec{A}\) e \(\vec{B}\) che sono perpendicolari tra loro. Queste possono essere calcolate utilizzando le funzioni trigonometriche e l’angolo tra i vettori.
Dati dell’Esercizio:
– \(A = 9,0\) (modulo del vettore \(\vec{A}\))
– \(B = 7,0\) (modulo del vettore \(\vec{B}\))
– \(\alpha = 35^\circ\) (angolo tra i vettori \(\vec{A}\) e \(\vec{B}\))
Passaggi della Risoluzione:
1. Calcolo del Prodotto Vettoriale:
Utilizzando la formula del prodotto vettoriale:
\[
\vec{A} \times \vec{B} = A B \sin\alpha
\]
Sostituendo i valori dati:
\[
\vec{A} \times \vec{B} = 9,0 \times 7,0 \times \sin(35^\circ)
\]
2. Calcolo delle Componenti Perpendicolari:
– \(A_{\perp}\) è la componente di \(\vec{A}\) perpendicolare a \(\vec{B}\). Possiamo trovarla come:
\[
A_{\perp} = A \sin\alpha
\]
– Analogamente, \(B_{\perp}\) è la componente di \(\vec{B}\) perpendicolare a \(\vec{A}\). Possiamo trovarla come:
\[
B_{\perp} = B \sin\alpha
\]
Calcoli:
1. Prodotto Vettoriale:
\[
\vec{A} \times \vec{B} = 9,0 \times 7,0 \times \sin(35^\circ)
\]
2. Componenti Perpendicolari:
–
\[
A_{\perp} = 9,0 \times \sin(35^\circ)
\]
–
\[
B_{\perp} = 7,0 \times \sin(35^\circ)
\]
Calcoli Numerici:
1. Prodotto Vettoriale:
\[
\vec{A} \times \vec{B} = 9,0 \times 7,0 \times \sin(35^\circ) = 36,14
\]
2. Componenti Perpendicolari:
–
\[
A_{\perp} = 9,0 \times \sin(35^\circ) = 5,16
\]
–
\[
B_{\perp} = 7,0 \times \sin(35^\circ) = 4,02
\]
Risultati:
– Il modulo del prodotto vettoriale \(\vec{A} \times \vec{B}\) è \(36,14\).
– La componente di \(\vec{A}\) perpendicolare a \(\vec{B}\) (\(A_{\perp}\)) è \(5,16\).
– La componente di \(\vec{B}\) perpendicolare a \(\vec{A}\) (\(B_{\perp}\)) è \(4,02\).
Spiegazione:
Il prodotto vettoriale tra due vettori produce un nuovo vettore che è perpendicolare al piano contenente i vettori originali. Il modulo di questo vettore è dato dal prodotto dei moduli dei vettori originali e il seno dell’angolo tra di loro. Le componenti perpendicolari dei vettori rappresentano la “lunghezza” dei vettori lungo una direzione che è perpendicolare all’altro vettore. Queste sono utili per comprendere quanto di un vettore è “ortogonale” rispetto all’altro.
