Il vettore S è la somma del doppio
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Il vettore $\vec S$ è la somma del doppio del vettore $A = 2\hat x + 5\hat y$ e del triplo del vettore $B = -3\hat x – \hat y$ . Determina l’espressione di S in componenti cartesiane.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Il vettore S è la somma del doppio
Concetti Chiave Utilizzati:
1. Prodotto tra un vettore e uno scalare:
Il prodotto tra un vettore $\vec{V}$ e uno scalare $k$ è un vettore $\vec{W} = k \cdot \vec{V}$ che ha la stessa direzione di $\vec{V}$, modulo pari al prodotto tra $|k|$ e il modulo di $\vec{V}$, e verso che rimane lo stesso se $k$ è positivo e cambia se $k$ è negativo.
2. Somma di vettori:
La somma tra vettori gode della proprietà commutativa e associativa.
La somma tra vettori può essere effettuata sommando le rispettive componenti lungo gli assi cartesiani.
3. Componenti di un vettore:
Un vettore $\vec{V}$ può essere espresso come somma delle sue componenti lungo gli assi cartesiani: $\vec{V} = V_x \hat{x} + V_y \hat{y}$, dove $\hat{x}$ e $\hat{y}$ sono i versori degli assi x e y, rispettivamente.
Dati dell’Esercizio:
– $\vec{A} = 2\hat{x} + 5\hat{y}$
– $\vec{B} = -3\hat{x} – \hat{y}$
– $\vec{S} = 2\vec{A} + 3\vec{B}$
Passaggi della Risoluzione:
1. Calcolo delle Componenti dei Vettori Scalati:
Utilizzando il concetto chiave 1, calcoliamo il doppio del vettore $\vec{A}$ e il triplo del vettore $\vec{B}$:
\[
2\vec{A} = 2 \times (2\hat{x} + 5\hat{y}) = 4\hat{x} + 10\hat{y}
\]
\[
3\vec{B} = 3 \times (-3\hat{x} – \hat{y}) = -9\hat{x} – 3\hat{y}
\]
2. Somma dei Vettori Scalati:
Utilizzando il concetto chiave 2, sommiamo le componenti dei vettori ottenuti nel passaggio 1 per ottenere il vettore $\vec{S}$:
\[
\vec{S} = (4\hat{x} + 10\hat{y}) + (-9\hat{x} – 3\hat{y})
\]
\[
\vec{S} = (4\hat{x} – 9\hat{x}) + (10\hat{y} – 3\hat{y})
\]
\[
\vec{S} = -5\hat{x} + 7\hat{y}
\]
Risultato:
L’espressione del vettore $\vec{S}$ in componenti cartesiane è:
\[
\vec{S} = -5\hat{x} + 7\hat{y}
\]
Spiegazione:
– Abbiamo iniziato moltiplicando i vettori $\vec{A}$ e $\vec{B}$ per gli scalari dati (2 e 3 rispettivamente), calcolando le nuove componenti lungo gli assi x e y.
– Successivamente, abbiamo sommato le componenti corrispondenti dei vettori risultanti per ottenere le componenti del vettore $\vec{S}$.
– Il risultato ottenuto rappresenta il vettore $\vec{S}$ espresso come somma delle sue componenti lungo gli assi cartesiani, utilizzando i versori $\hat{x}$ e $\hat{y}$.
