Un aereo si sposta di 200 km in
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Un aereo si sposta di 200 km in direzione nord, poi vira bruscamente verso est e procede per altri 300 km; infine vira nuovamente in direzione nord-est (cioè la direzione che forma 45° con le direzioni nord ed est) e viaggia per 100 km. Determina la distanza tra il punto di partenza e il punto di arrivo dell’aereo.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un aereo si sposta di 200 km in
Concetti Chiave Utilizzati:
1. Scomposizione dei Vettori: Un vettore può essere scomposto nelle sue componenti lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
2. Somma dei Vettori: La somma di due o più vettori si ottiene sommando le loro componenti lungo gli assi cartesiani e utilizzando il teorema di Pitagora per trovare il modulo del vettore risultante.
3. Direzione e Verso dei Vettori: La direzione è l’angolo che il vettore forma con l’asse delle ascisse, mentre il verso indica la direzione in cui il vettore punta.
Dati dell’Esercizio:
\[
\vec{A} = 200 \, \text{km} \quad (\text{Nord})
\]
\[
\vec{B} = 300 \, \text{km} \quad (\text{Est})
\]
\[
\vec{C} = 100 \, \text{km} \quad (\text{Nord-Est}) \]
con Nord-Est che significa 45° rispetto a Nord ed Est
Passaggi della Risoluzione:
1. Scomposizione dei Vettori: Scomporremo i vettori nelle loro componenti lungo gli assi cartesiani.
2. Somma dei Vettori: Sommeremo le componenti dei vettori lungo gli assi cartesiani e troveremo il modulo del vettore risultante.
3. Risultato: Determineremo la distanza tra il punto di partenza e il punto di arrivo dell’aereo.
Dettagli della Risoluzione:
1. Scomposizione dei Vettori:
– \( \vec{A} \): Non necessita di scomposizione in quanto è già allineato con l’asse y (Nord).
– \( \vec{B} \): Non necessita di scomposizione in quanto è già allineato con l’asse x (Est).
– \( \vec{C} \): Necessita di scomposizione in quanto è inclinato di 45° rispetto agli assi x e y.
\[
C_x = C \cdot \cos(45°) = 50\sqrt{2} \, \text{km}
\]
\[
C_y = C \cdot \sin(45°) = 50\sqrt{2} \, \text{km}
\]
2. Somma dei Vettori:
–
\[
R_x = A_x + B_x + C_x = 300 + 50\sqrt{2} \, \text{km}
\]
–
\[
R_y = A_y + B_y + C_y = 200 + 50\sqrt{2} \, \text{km}
\]
–
\[
R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}
\]
Risultati dei Calcoli:
– Componenti del vettore \( \vec{C} \):
\[
C_x = 50\sqrt{2} \, \text{km}
\]
\[
C_y = 50\sqrt{2} \, \text{km}
\]
– Componenti del vettore risultante \( \vec{R} \):
\[
R_x = 300 + 50\sqrt{2} \, \text{km}
\]
\[
R_y = 200 + 50\sqrt{2} \, \text{km}
\]
– Modulo del vettore risultante \( \vec{R} \):
\[
R \approx 459.03 \, \text{km}
\]
Conclusione:
La distanza tra il punto di partenza e il punto di arrivo dell’aereo, rappresentata dal modulo del vettore risultante \( \vec{R} \), è di circa \( 459.03 \, \text{km} \).
