Sono dati i vettori A = ax – 4y
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Sono dati i vettori $\vec A = a\hat x – 4\hat y$ e $\vec B = 2\hat x + b\hat y$. Il modulo del primo è A = 5, il prodotto scalare tra i due vettori è uguale a 2. Calcola i valori dei parametri a e b.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Sono dati i vettori A = ax – 4y
Concetti Chiave Utilizzati:
1. Prodotto Scalare:
\[ \vec A \cdot \vec B = A B \cos\theta = A_x B_x + A_y B_y \]
2. Modulo di un Vettore:
\[ A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \]
3. Componenti di un Vettore:
\[ \vec A = A_x \hat x + A_y \hat y \]
Dati dell’Esercizio:
– \[ \vec A = a\hat x – 4\hat y \]
– \[ \vec B = 2\hat x + b\hat y \]
– \[ A = 5 \]
– \[ \vec A \cdot \vec B = 2 \]
Obiettivo:
Calcolare i valori dei parametri \(a\) e \(b\).
Passaggi della Risoluzione:
1. Calcolo di \(a\):
Utilizzando la formula del modulo del vettore e sostituendo la componente \(y\) di \(\vec A\) data, possiamo trovare la componente \(x\) di \(\vec A\) (ossia \(a\)).
\[ A = \sqrt{a^2 + (-4)^2} \]
Sostituendo \(A = 5\), possiamo risolvere per \(a\).
2. Calcolo di \(b\):
Utilizzando la formula del prodotto scalare e sostituendo le componenti di \(\vec A\) e \(\vec B\) date, possiamo trovare la componente \(y\) di \(\vec B\) (ossia \(b\)).
\[ \vec A \cdot \vec B = a \cdot 2 + (-4) \cdot b = 2 \]
Sostituendo i possibili valori di \(a\) possiamo trovare i corrispondenti valori di \(b\). Iniziamo con \(a = 3\).
Calcoli:
1. Calcolo di \(a\):
Utilizziamo Wolfram per risolvere l’equazione per \(a\).
\[ \text{Solve}\left[\sqrt{a^2 + (-4)^2} = 5, a\right] \]
\[ \Rightarrow a = -3 \text{ o } a = 3 \]
2. Calcolo di \(b\):
Utilizziamo ora la formula del prodotto scalare e sostituendo il valore di \(a\), possiamo risolvere per \(b\).
\[ \vec A \cdot \vec B = a \cdot 2 + (-4) \cdot b = 2 \]
Sostituendo i possibili valori di \(a\) possiamo trovare i corrispondenti valori di \(b\). Iniziamo con \(a = 3\).
\[ \text{Solve}[3 \cdot 2 – 4 \cdot b = 2, b] \]
\[ \Rightarrow b = 1 \]
Ora, consideriamo il caso in cui \(a = -3\) e risolviamo per \(b\).
\[ \text{Solve}[-3 \cdot 2 – 4 \cdot b = 2, b] \]
\[ \Rightarrow b = -2 \]
Risultati:
– Se \(a = 3\), allora \(b = 1\).
– Se \(a = -3\), allora \(b = -2\).
Spiegazione:
– Abbiamo utilizzato il modulo del vettore \(\vec A\) per determinare il valore assoluto della sua componente \(x\) (ossia \(a\)).
– Abbiamo poi utilizzato il prodotto scalare tra \(\vec A\) e \(\vec B\) per determinare il valore della componente \(y\) di \(\vec B\) (ossia \(b\)).
– Abbiamo considerato entrambi i possibili valori di \(a\) (ossia \(3\) e \(-3\)) per determinare i corrispondenti valori di \(b\).
In pratica, abbiamo applicato le formule e i concetti chiave dei vettori per determinare le componenti mancanti dei vettori dati nell’esercizio. Questo ci ha permesso di esplorare come le proprietà e le operazioni vettoriali possono essere utilizzate per risolvere problemi pratici in fisica.
