Un vettore A = (Ax Ay) forma
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Un vettore $\vec A = (A_x, A_y)$ forma un angolo \theta con l’asse positivo delle x. Calcola l’angolo \theta quando le componenti del vettore sono:
a. $A_x$ = 12 m e $A_y$ = 12 m
b. $A_x$ = 17 m e $A_y$ = 12 m
c. $A_x$ = 12 m e $A_y$ = 17 m
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un vettore A = (Ax Ay) forma
Concetti chiave utilizzati:
1. I vettori possono essere scomposti lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
2. Un vettore \(\vec A\) può essere scritto come \(\vec A = A_x \hat x + A_y \hat y\).
3. L’angolo \(\theta\) tra il vettore e l’asse x può essere trovato utilizzando la formula del tangente: \(\tan(\theta) = \frac{A_y}{A_x}\). Da cui, \(\theta = \arctan\left(\frac{A_y}{A_x}\right)\).
Dati dell’esercizio:
a. \(A_x = 12 \text{ m}\) e \(A_y = 12 \text{ m}\)
b. \(A_x = 17 \text{ m}\) e \(A_y = 12 \text{ m}\)
c. \(A_x = 12 \text{ m}\) e \(A_y = 17 \text{ m}\)
Passaggi della risoluzione:
a. \(A_x = 12 \text{ m}\) e \(A_y = 12 \text{ m}\)
Utilizzando la formula del tangente:
\[
\tan(\theta) = \frac{A_y}{A_x} = \frac{12 \text{ m}}{12 \text{ m}}
\]
Da cui:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{12}{12}\right) = 45^\circ
\]
b. \(A_x = 17 \text{ m}\) e \(A_y = 12 \text{ m}\)
Utilizzando la formula del tangente:
\[
\tan(\theta) = \frac{A_y}{A_x} = \frac{12 \text{ m}}{17 \text{ m}}
\]
Da cui:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{12}{17}\right) \approx 35.2^\circ
\]
c. \(A_x = 12 \text{ m}\) e \(A_y = 17 \text{ m}\)
Utilizzando la formula del tangente:
\[
\tan(\theta) = \frac{A_y}{A_x} = \frac{17 \text{ m}}{12 \text{ m}}
\]
Da cui:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{17}{12}\right) \approx 54.8^\circ
\]
Conclusione:
Abbiamo utilizzato i concetti chiave dei vettori e le loro componenti per determinare l’angolo che un vettore forma con l’asse positivo delle x. Questo ci ha permesso di comprendere meglio la relazione tra le componenti di un vettore e l’angolo che forma con gli assi cartesiani.
