I vettori A e B hanno moduli
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
I vettori $\vec A$ e $\vec B$ hanno moduli rispettivamente pari a 11 e 7. Il loro prodotto scalare è 43. Calcola l’ampiezza dell’angolo formato dalle direzioni dei due vettori.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – I vettori A e B hanno moduli
Concetto chiave 1:
Il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla formula:
\[ \vec A \cdot \vec B = A B \cos\theta \]
dove \( A \) e \( B \) sono i moduli dei vettori \( \vec A \) e \( \vec B \) rispettivamente, e \( \theta \) è l’angolo tra i due vettori.
Dati dell’esercizio:
1. Modulo del vettore \( \vec A \): \( A = 11 \)
2. Modulo del vettore \( \vec B \): \( B = 7 \)
3. Prodotto scalare tra \( \vec A \) e \( \vec B \): \( \vec A \cdot \vec B = 43 \)
Passaggio 1: Sostituire i dati forniti nella formula del prodotto scalare per determinare \( \theta \).
\[ \vec A \cdot \vec B = A B \cos\theta \]
\[ 43 = 11 \times 7 \cos\theta \]
Da qui possiamo isolare \( \cos\theta \) per trovare l’ampiezza dell’angolo \( \theta \).
\[ \cos\theta = \frac{43}{11 \times 7} \]
\[ \cos\theta \approx 0.558441 \]
Passaggio 2: Utilizzando la formula inversa del coseno, possiamo trovare l’ampiezza dell’angolo \( \theta \):
\[ \theta = \arccos(0.558441) \]
\[ \theta \approx 56.05^\circ \]
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato il concetto chiave del prodotto scalare tra due vettori per determinare l’angolo tra i vettori \( \vec A \) e \( \vec B \). Dopo aver sostituito i dati forniti nella formula del prodotto scalare, abbiamo isolato \( \cos\theta \) e successivamente calcolato l’ampiezza dell’angolo \( \theta \) utilizzando la formula inversa del coseno.
Risposta finale:
L’ampiezza dell’angolo formato dalle direzioni dei vettori \( \vec A \) e \( \vec B \) è di circa \( 56.05^\circ \).
