Una nave si sposta di 50 km
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Una nave si sposta di 50 km verso sud con un angolo di 40° rispetto a est. Poi compie un secondo spostamento di 180 km verso nord. Calcola: il modulo dello spostamento totale della nave; l’angolo $\beta$ che il vettore spostamento totale forma con l’asse x, verso est.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Una nave si sposta di 50 km
Concetti chiave utilizzati:
1. Grandezze vettoriali: Sono descritte da modulo, direzione e verso.
2. Scomposizione dei vettori lungo gli assi cartesiani: Usando le funzioni seno e coseno.
3. Somma tra vettori: Si può ottenere sommando le componenti lungo gli assi cartesiani.
4. Teorema di Pitagora: Per trovare il modulo del vettore risultante.
Dati dell’esercizio:
1. Primo spostamento: \( \vec{A} \) di 50 km verso sud con un angolo di 40° rispetto a est.
2. Secondo spostamento: \( \vec{B} \) di 180 km verso nord.
Passaggi della risoluzione:
1. Scomposizione del primo vettore \( \vec{A} \) lungo gli assi cartesiani:
\[ A_x = 50 \cos(40^\circ) = 38.30 \text{ km} \]
\[ A_y = 50 \sin(40^\circ) = -32.14 \text{ km} \]
\( A_y \) è negativo perché il vettore si muove verso sud.
2. Scomposizione del secondo vettore \( \vec{B} \) lungo gli assi cartesiani:
\[ B_x = 0 \text{ km} \]
\[ B_y = 180 \text{ km} \]
3. Somma delle componenti dei vettori lungo gli assi cartesiani:
\[ R_x = 38.30 \text{ km} \]
\[ R_y = 147.86 \text{ km} \]
4. Calcolo del modulo dello spostamento totale \( R \):
\[ R = \sqrt{ R_x^2 + R_y^2 } = 152.74 \text{ km} \]
5. Calcolo dell’angolo \( \beta \) che il vettore spostamento totale forma con l’asse x (verso est):
\[ \beta = \arctan\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = 75.48^\circ \]
Risultati:
1. Il modulo dello spostamento totale della nave è \( R = 152.74 \text{ km} \).
2. L’angolo \( \beta \) che il vettore spostamento totale forma con l’asse x (verso est) è \( \beta = 75.48^\circ \).
Spiegazione:
Abbiamo iniziato scomponendo i vettori di spostamento lungo gli assi cartesiani. Una volta ottenute le componenti, abbiamo sommato le componenti dei vettori lungo gli stessi assi per ottenere le componenti del vettore risultante. Infine, abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per calcolare il modulo del vettore risultante e la funzione arco tangente per determinare l’angolo che esso forma con l’asse x.
