Un gruppo di cetacei si muove
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Un gruppo di cetacei si muove alla ricerca di prede. Il gruppo effettua un primo spostamento di 36 km verso nord con un angolo di 30° rispetto a ovest. Poi compie un secondo spostamento di 40 km verso sud. Calcola: il modulo dello spostamento totale; l’angolo che il vettore spostamento totale forma con l’asse x, verso est.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un gruppo di cetacei si muove
Dati dell’esercizio:
1. Primo spostamento: 36 km verso nord con un angolo di 30° rispetto a ovest.
2. Secondo spostamento: 40 km verso sud.
Concetti chiave utilizzati:
– Le grandezze vettoriali hanno modulo, direzione e verso.
– I vettori possono essere scomposti nelle loro componenti lungo gli assi cartesiani.
– La somma di vettori si ottiene sommando le rispettive componenti.
– Il modulo del vettore risultante si trova con il teorema di Pitagora.
– L’angolo che un vettore forma con l’asse x si trova con le funzioni trigonometriche inverse.
Passaggi della risoluzione:
1. Scomposizione dei vettori nelle componenti cartesiane:
– Primo spostamento: dato che il movimento è verso nord ma con un angolo verso ovest, dobbiamo scomporre questo vettore nelle sue componenti lungo gli assi. L’angolo fornito è rispetto all’asse x negativo (ovest), quindi dobbiamo considerarlo come 180° – 30° = 150° rispetto all’asse x positivo (est).
\[ A_x = A \cos(\theta) = -31.18 \text{ km} \]
\[ A_y = A \sin(\theta) = 18.00 \text{ km} \]
– Secondo spostamento: questo è diretto verso il sud, che è l’asse y negativo. Quindi, la componente x è 0 e la componente y è -40 km
\[ B_x = 0 \text{ km} \]
\[ B_y = -40.00 \text{ km} \]
2. Somma delle componenti dei vettori: sommiamo le componenti x dei due vettori e le componenti y dei due vettori per trovare le componenti del vettore spostamento totale.
\[ R_x = A_x + B_x = -31.18 \text{ km} \]
\[ R_y = A_y + B_y = -22.00 \text{ km} \]
3. Calcolo del modulo del vettore risultante:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = 38.16 \text{ km} \]
4. Calcolo dell’angolo del vettore risultante: usiamo il teorema di Pitagora per trovare il modulo (o la lunghezza) del vettore spostamento totale.
\[ \theta = \text{atan2}(R_y, R_x) = -144.79° \]
Nota: un angolo negativo indica che il vettore punta nel quadrante sud-ovest. Per riferirsi al sistema standard degli angoli, possiamo sottrarre questo valore da 360°, ottenendo un angolo di \( 360 – 144.79 = 215.21° \) rispetto all’asse x positivo.
Risultato:
– Il modulo dello spostamento totale è \( 38.16 \) km.
– L’angolo che il vettore spostamento totale forma con l’asse x, verso est, è \( 215.21° \).
Spiegazione:
Abbiamo scomposto i vettori di spostamento nelle loro componenti lungo gli assi x e y utilizzando le funzioni seno e coseno. Dopo aver sommato le componenti corrispondenti, abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per calcolare il modulo del vettore di spostamento totale. Infine, abbiamo usato la funzione arcotangente (atan2) per determinare l’angolo che il vettore risultante forma con l’asse x. Questo angolo è stato calcolato rispetto all’asse x positivo (est) utilizzando la convenzione standard per gli angoli nel sistema di coordinate cartesiane.
