I vettori a e b hanno componenti cartesiane
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
I vettori $\vec a$ e $\vec b$ hanno componenti cartesiane $a_x = -6,4 m$, $a_y = -3,0 m$, $b_x = -2,5 m$ e $b_y = -5,0 m$. Calcola il modulo dei due vettori. Calcola le componenti cartesiane del vettore $\vec c = -\vec a – \vec b$. Verifica che il vettore $\vec c$ si può ottenere anche come $\vec c = -(\vec a + \vec b)$. Calcola il modulo del vettore $\vec c$.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità , che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità . I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – I vettori a e b hanno componenti cartesiane
Concetti chiave utilizzati:
1. Le grandezze vettoriali sono descritte in modo completo da modulo (o intensità ), direzione e verso; esse si rappresentano con una freccia.
2. Il prodotto tra un vettore e uno scalare è un vettore che ha la stessa direzione, modulo pari al prodotto tra i due numeri e verso che varia in base al segno dello scalare.
3. I vettori possono essere scomposti lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
4. Un vettore \(\vec A\) può essere scritto nel seguente modo: \(\vec A = A_x \hat x + A_y \hat y\); \(\hat x\) e \(\hat y\) sono due versori.
5. La somma tra due o più vettori \(\R = \vec A + \vec B + \vec C\) si ottiene calcolando la componente lungo l’asse x e l’asse y; infine si fa il teorema di Pitagora.
Dati dell’esercizio:
– Componenti cartesiane di \(\vec a\): \(a_x = -6,4 m\), \(a_y = -3,0 m\)
– Componenti cartesiane di \(\vec b\): \(b_x = -2,5 m\), \(b_y = -5,0 m\)
Passaggi della risoluzione:
1. Calcolo del modulo dei vettori \(\vec a\) e \(\vec b\):
Utilizzando la formula del teorema di Pitagora:
\[ A = \sqrt{ A_x^2 + A_y^2 } \]
abbiamo:
– Modulo di \(\vec a\):
\[ |\vec a| = \sqrt{ (-6.4 m)^2 + (-3.0 m)^2 } = 7.07 m \]
– Modulo di \(\vec b\):
\[ |\vec b| = \sqrt{ (-2.5 m)^2 + (-5.0 m)^2 } = 5.59 m \]
2. Calcolo delle componenti cartesiane del vettore \(\vec c = -\vec a – \vec b\):
Utilizzando le formule:
\[ c_x = -a_x – b_x \]
\[ c_y = -a_y – b_y \]
abbiamo:
– Componente \(x\) di \(\vec c\):
\[ c_x = -(-6.4 m) – (-2.5 m) = 8.9 m \]
– Componente \(y\) di \(\vec c\):
\[ c_y = -(-3.0 m) – (-5.0 m) = 8.0 m \]
3. Verifica che il vettore \(\vec c\) si può ottenere anche come \(\vec c = -(\vec a + \vec b)\):
Utilizzando le formule:
\[ c_x’ = – (a_x + b_x) \]
\[ c_y’ = – (a_y + b_y) \]
abbiamo:
– Componente \(x\) di \(\vec c’\):
\[ c_x’ = -(-6.4 m + -2.5 m) = 8.9 m \]
– Componente \(y\) di \(\vec c’\):
\[ c_y’ = -(-3.0 m + -5.0 m) = 8.0 m \]
4. Calcolo del modulo del vettore \(\vec c\):
Utilizzando la formula del teorema di Pitagora:
\[ C = \sqrt{ C_x^2 + C_y^2 } \]
abbiamo:
– Modulo di \(\vec c\):
\[ |\vec c| = \sqrt{ (8.9 m)^2 + (8.0 m)^2 } = 11.97 m \]
Risultato:
– Il modulo del vettore \(\vec a\) è \(7.07 m\).
– Il modulo del vettore \(\vec b\) è \(5.59 m\).
– Le componenti cartesiane del vettore \(\vec c\) sono \(c_x = 8.9 m\) e \(c_y = 8.0 m\).
– Il modulo del vettore \(\vec c\) è \(11.97 m\).
– Abbiamo verificato che il vettore \(\vec c\) può effettivamente essere ottenuto come \(\vec c = -(\vec a + \vec b)\).
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato i concetti fondamentali dei vettori per risolvere l’esercizio. In particolare, abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per calcolare il modulo dei vettori e le proprietà della somma e del prodotto tra vettori e scalari per determinare le componenti cartesiane del vettore \(\vec c\). Infine, abbiamo verificato l’equivalenza tra due espressioni per \(\vec c\) attraverso un confronto diretto delle loro componenti cartesiane.
