I vettori a e b hanno componenti
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
I vettori $\vec a$ e $\vec b$ hanno componenti cartesiane $a_x = 2,2 cm$, $a_y = -4,0 cm$, $b_x = -8,4 cm$ e $b_y = -1,0 cm$. Calcola il modulo dei due vettori. Calcola le componenti cartesiane del vettore $\vec c = 3 (\vec a – \frac{1}{3}\vec b)$. Verifica che il vettore $\vec c$ si può ottenere anche come $\vec c = 3\vec a – \vec b$.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – I vettori a e b hanno componenti
Concetti chiave utilizzati:
1. Le grandezze vettoriali sono descritte in modo completo da modulo (o intensità), direzione e verso; esse si rappresentano con una freccia.
2. Il prodotto tra un vettore e uno scalare è un vettore che ha la stessa direzione, modulo pari al prodotto tra i due numeri e verso che varia in base al segno dello scalare.
3. I vettori possono essere scomposti lungo gli assi cartesiani.
4. Un vettore \(\vec A\) può essere scritto nel seguente modo: \(\vec A = A_x \hat x + A_y \hat y\).
5. La somma tra due o più vettori \(\R = \vec A + \vec B + \vec C\) si ottiene calcolando le componenti lungo gli assi.
6. Per calcolare il modulo di un vettore si utilizza il teorema di Pitagora.
Dati dell’esercizio:
– Componenti cartesiane di \(\vec a\): \(a_x = 2,2 \text{ cm}\), \(a_y = -4,0 \text{ cm}\)
– Componenti cartesiane di \(\vec b\): \(b_x = -8,4 \text{ cm}\), \(b_y = -1,0 \text{ cm}\)
Passaggi della risoluzione:
1. Calcolo del modulo dei vettori \(\vec a\) e \(\vec b\):
\[ | \vec a | = \sqrt{2,2^2 + (-4,0)^2} = 4,56508 \text{ cm} \]
\[ | \vec b | = \sqrt{(-8,4)^2 + (-1,0)^2} = 8,45931 \text{ cm} \]
2. Calcolo delle componenti cartesiane del vettore \(\vec c\):
\[ \vec c = 3 (\vec a – \frac{1}{3}\vec b) \]
\[ c_x = 3(a_x – \frac{1}{3}b_x) = 15 \text{ cm} \]
\[ c_y = 3(a_y – \frac{1}{3}b_y) = -11 \text{ cm} \]
3. Verifica che \(\vec c\) si può ottenere anche come \( \vec c = 3\vec a – \vec b \):
\[ c’_x = 3a_x + b_x = 15 \text{ cm} \]
\[ c’_y = 3a_y + b_y = -11 \text{ cm} \]
Risultato:
1. Modulo di \(\vec a\) = \(4,56508 \text{ cm}\)
2. Modulo di \(\vec b\) = \(8,45931 \text{ cm}\)
3. Componenti cartesiane di \(\vec c\) = \(15\hat x – 11\hat y\)
4. Le componenti cartesiane di \(\vec c\) ottenute dalle due espressioni fornite sono equivalenti.
