Ai mondiali di calcio del 1986
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Ai mondiali di calcio del 1986 in Messico, durante la partita Argentina-Inghilterra, Diego Maradona siglò il definitivo 2 a 0 per l’Argentina con una splendida azione personale, schematizzata nella figura. Il campo da calcio misura 105 cm per 68,0 m, i lati dell’area di rigore misurano 40,3 m e 16,5 m e il dischetto dell’area avversaria, da cui il pallone viene calciato in rete, dista 11,0 m dal fondo campo. Calcola la lunghezza totale del percorso effettuato da Maradona.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Ai mondiali di calcio del 1986
Concetti chiave utilizzati:
– Le grandezze vettoriali sono descritte in modo completo da modulo (o intensità), direzione e verso; esse si rappresentano con una freccia.
– Graficamente, la somma tra vettori si risolve con il metodo punta-coda.
– I vettori possono essere scomposti lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
– La somma tra due o più vettori si ottiene calcolando le componenti lungo gli assi cartesiani e poi utilizzando il teorema di Pitagora per trovare il modulo del vettore risultante.
Dati dell’esercizio:
– Dimensioni campo da calcio: \(105 \text{m} \times 68,0 \text{m}\)
– Dimensioni area di rigore: \(40,3 \text{m} \times 16,5 \text{m}\)
– Distanza dischetto dell’area avversaria dal fondo campo: \(11,0 \text{m}\)
Passaggi della risoluzione:
1. Calcolo dello spostamento del primo tratto:
– Spostamento orizzontale: \( \frac{105 \text{m}}{2} – 16,5 \text{m} = 36 \text{m} \)
– Spostamento verticale: \( \frac{68,0 \text{m} – 40,3 \text{m}}{2} = 13.9 \text{m} \)
2. Calcolo dello spostamento del secondo tratto:
– Spostamento orizzontale: \( \frac{105 \text{m}}{2} – 11 \text{m} = 41.5 \text{m} \)
– Spostamento verticale: \( -\frac{68,0 \text{m}}{2} = -34 \text{m} \)
3. Calcolo della lunghezza totale del percorso:
– Utilizzando il teorema di Pitagora, possiamo calcolare la lunghezza di ciascun tratto:
1. Lunghezza del primo tratto: \( \sqrt{36^2 + 13.9^2} = 38.5903 \text{m} \)
2. Lunghezza del secondo tratto: \( \sqrt{41.5^2 + (-34)^2} = 53.6493 \text{m} \)
– La lunghezza totale del percorso effettuato da Maradona è la somma delle lunghezze dei due tratti:
\[ \text{Lunghezza totale} = 38.5903 \text{m} + 53.6493 \text{m} = \]
\[= 92.2396 \text{m} \]
Risultato:
La lunghezza totale del percorso effettuato da Maradona durante quella splendida azione personale è di \(92.2396 \text{m}\).
Spiegazione:
Abbiamo utilizzato i dati forniti per calcolare gli spostamenti orizzontali e verticali di Maradona in ciascun tratto. Successivamente, abbiamo applicato il teorema di Pitagora per determinare la lunghezza di ciascun tratto. Infine, abbiamo sommato le lunghezze dei due tratti per ottenere la lunghezza totale del percorso.
NB. Il terzo tratto (quello rappresentato in blu) non è stato considerato perché relativo al pallone che viene calciato da Maradona e non alla distanza percorsa dal giocatore.
