Due vettori hanno modulo
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Due vettori hanno modulo $v_1 = 3$ e $v_2 = 4$. Disegna il vettore risultante dalla loro somma e calcola la sua lunghezza nei casi:
– i due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso;
– le direzioni dei due vettori formano un angolo di 90°;
– i due vettori hanno la stessa direzione e versi opposti.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità , che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità . I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Due vettori hanno modulo
Concetti chiave utilizzati:
1. Le grandezze vettoriali sono descritte da modulo, direzione e verso.
2. La somma tra vettori si può risolvere con il metodo punta-coda.
3. La somma tra vettori gode della proprietà commutativa e associativa.
4. I vettori possono essere scomposti lungo gli assi cartesiani utilizzando seno e coseno.
5. La somma tra due o più vettori si ottiene sommando le loro componenti lungo gli assi cartesiani e poi applicando il teorema di Pitagora.
Dati dell’esercizio:
– \( v_1 = 3 \)
– \( v_2 = 4 \)
Risoluzione:
Caso 1: i due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso.
In questo caso, la somma dei vettori è semplicemente la somma dei loro moduli, poiché hanno la stessa direzione e verso. Quindi:
\[ R = v_1 + v_2 = 3 + 4 = 7 \]
Caso 2: le direzioni dei due vettori formano un angolo di 90°.
In questo caso, possiamo immaginare i vettori come i lati di un triangolo rettangolo, dove \( v_1 \) e \( v_2 \) sono i cateti e \( R \) è l’ipotenusa. Utilizzando il teorema di Pitagora, possiamo trovare il modulo del vettore risultante:
\[ R = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \]
Caso 3: i due vettori hanno la stessa direzione e versi opposti.
In questo caso, la somma dei vettori è la differenza dei loro moduli, poiché hanno la stessa direzione ma versi opposti. Quindi:
\[ R = |v_1 – v_2| = |3 – 4| = 1 \]
Risultati:
1. Nel primo caso, il vettore risultante ha modulo \( R = 7 \) e ha la stessa direzione e verso dei vettori originali.
2. Nel secondo caso, il vettore risultante ha modulo \( R = 5 \) e ha direzione che coincide con la diagonale del rettangolo avente per lati i vettori \( \vec v_1 \) e \( \vec v_2 \).
3. Nel terzo caso, il vettore risultante ha modulo \( R = 1 \) e ha la stessa direzione dei vettori originali ma con verso opposto al vettore di modulo maggiore.
Spiegazione:
Quando sommiamo vettori, dobbiamo considerare sia il loro modulo che la loro direzione e verso. Nel primo caso, poiché i vettori hanno la stessa direzione e verso, la loro somma è semplicemente la somma dei loro moduli. Nel secondo caso, poiché formano un angolo retto tra di loro, possiamo usare il teorema di Pitagora per trovare il modulo del vettore risultante. Nel terzo caso, poiché hanno versi opposti ma la stessa direzione, la loro somma è la differenza dei loro moduli.
