Nella sua passeggiata quotidiana
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Nella sua passeggiata quotidiana, un gatto compie uno spostamento di 120 m verso nord, seguito da un altro di 72 m verso ovest. disegna i vettori spostamento e determina il modulo dello spostamento totale.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Nella sua passeggiata quotidiana
Concetto chiave 1:
Grandezze vettoriali e rappresentazione grafica
Le grandezze vettoriali sono descritte in modo completo da modulo (o intensità), direzione e verso. Graficamente, si rappresentano con una freccia. Nel nostro esercizio, gli spostamenti del gatto sono grandezze vettoriali.
Dati dell’esercizio:
1. Spostamento \( \vec{A} \) = 120 m verso nord
2. Spostamento \( \vec{B} \) = 72 m verso ovest
Passaggio 1: Rappresentazione grafica degli spostamenti
Il gatto si muove prima di 120 m verso nord e poi di 72 m verso ovest. Questi spostamenti possono essere rappresentati come due vettori su un piano cartesiano, dove il vettore \( \vec{A} \) punta verso l’alto (nord) e ha una lunghezza di 120 m, mentre il vettore \( \vec{B} \) punta verso sinistra (ovest) e ha una lunghezza di 72 m.
Passaggio 2: Calcolo delle componenti dei vettori lungo gli assi cartesiani
Utilizzando le formule:
\[ A_x = A \cos\theta \]
\[ A_y = A \sin\theta \]
Dove \( \theta \) è l’angolo tra il vettore e l’asse x.
Per \( \vec{A} \) (verso nord):
\[ A_x = 120 \cos(90^\circ) = 0 \]
\[ A_y = 120 \sin(90^\circ) = 120 \text{ m} \]
Per \( \vec{B} \) (verso ovest):
\[ B_x = 72 \cos(180^\circ) = -72 \text{ m} \]
\[ B_y = 72 \sin(180^\circ) = 0 \]
Passaggio 3: Calcolo dello spostamento totale
Utilizzando il concetto chiave della somma tra vettori, possiamo sommare le componenti dei vettori lungo gli assi cartesiani:
\[ R_x = A_x + B_x \]
\[ R_y = A_y + B_y \]
\[ R_x = 0 – 72 = -72 \text{ m} \]
\[ R_y = 120 + 0 = 120 \text{ m} \]
Passaggio 4: Calcolo del modulo dello spostamento totale
Utilizzando il teorema di Pitagora:
\[ R = \sqrt{ R_x^2 + R_y^2 } \]
\[ R = \sqrt{ (-72)^2 + 120^2 } \approx 140 \text{ m} \]
Spiegazione:
Il gatto ha compiuto uno spostamento totale di circa 140 metri in una direzione nord-ovest rispetto alla sua posizione iniziale. Questo risultato è ottenuto combinando i due spostamenti individuali (120 m verso nord e 72 m verso ovest) e calcolando la “distanza in linea retta” tra la posizione iniziale e la posizione finale del gatto.
Risposta finale:
Il modulo dello spostamento totale del gatto è di circa 140 metri.
