Se A è un vettore
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Se $\vec A$ è un vettore di modulo 12,1 m che punta nel verso delle x positive e $\vec B$ è un vettore di modulo 32,2 m che punta nel verso delle y negative, quanto vale il modulo del vettore $2\vec A + \vec B$?
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità. I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Se A è un vettore
Concetti chiave utilizzati:
1. Le grandezze vettoriali sono descritte in modo completo da modulo, direzione e verso.
2. La somma tra vettori gode della proprietà commutativa e associativa.
3. Il prodotto tra un vettore e uno scalare è un vettore che ha la stessa direzione, modulo pari al prodotto tra i due numeri e verso che varia in base al segno dello scalare.
4. I vettori possono essere scomposti lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
5. Un vettore può essere scritto come la somma delle sue componenti lungo gli assi cartesiani.
6. La somma tra due o più vettori si ottiene sommando le loro componenti lungo gli assi cartesiani.
7. Il modulo di un vettore risultante dalla somma di più vettori si calcola con il teorema di Pitagora.
Dati dell’esercizio:
– \( \vec A \) ha modulo \( A = 12,1 \) m e punta nel verso delle x positive.
– \( \vec B \) ha modulo \( B = 32,2 \) m e punta nel verso delle y negative.
Passaggi della risoluzione:
1. Calcolo delle componenti dei vettori lungo gli assi cartesiani:
– \( A_x = 12,1 \) m (componente lungo l’asse x di \( \vec A \))
– \( A_y = 0 \) m (componente lungo l’asse y di \( \vec A \))
– \( B_x = 0 \) m (componente lungo l’asse x di \( \vec B \))
– \( B_y = -32,2 \) m (componente lungo l’asse y di \( \vec B \))
2. Calcolo delle componenti del vettore \( 2\vec A + \vec B \) lungo gli assi cartesiani:
– \( R_x = 2A_x + B_x = 2(12,1) + 0 = 24,2 \) m
– \( R_y = 2A_y + B_y = 2(0) – 32,2 = -32,2 \) m
3. Calcolo del modulo del vettore risultante \( \vec R \) usando il teorema di Pitagora:
\[ R = \sqrt{ R_x^2 + R_y^2 } \]
\( R \approx 40,28 \) m
Risultato:
Il modulo del vettore \( 2\vec A + \vec B \) è circa \( 40,28 \) m.
Spiegazione:
Abbiamo iniziato calcolando le componenti dei vettori \( \vec A \) e \( \vec B \) lungo gli assi cartesiani. Successivamente, abbiamo calcolato le componenti del vettore \( 2\vec A + \vec B \) sommando le componenti corrispondenti dei vettori \( \vec A \) e \( \vec B \). Infine, abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per calcolare il modulo del vettore risultante \( \vec R \).
In sintesi, abbiamo utilizzato i concetti di grandezze vettoriali, somma di vettori, prodotto di un vettore per uno scalare e scomposizione dei vettori lungo gli assi cartesiani per risolvere l’esercizio.
