Un automobilista sta guidando
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Un automobilista sta guidando su una lunga strada inclinata. Dopo 2,40 km nota che i segnali stradali a fianco della carreggiata indicano che la sua altitudine è aumentata di 160 metri.
a) Qual è l’angolo che la strada forma con il piano orizzontale?
b) Quanta strada deve ancora percorrere se vuole aumentare la sua altitudine di altri 45 metri?
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità , che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità . I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un automobilista sta guidando
Dati dell’Esercizio:
1. Distanza percorsa: \(2.40 \ \text{km}\) (che è l’ipotenusa del triangolo rettangolo).
2. Aumento di altitudine: \(160 \ \text{metri}\).
Parte (a): Calcolo dell’Angolo
Per trovare l’angolo che la strada forma con il piano orizzontale, dobbiamo prima convertire tutte le misure nella stessa unità . In questo caso, convertiremo i chilometri in metri:
\[1 \ \text{km} = 1000 \ \text{m}\]
Quindi, \(2.40 \ \text{km} = 2.40 \times 1000 \ \text{m} = 2400 \ \text{m}\).
Ora, possiamo usare la funzione trigonometrica inversa del seno (arcoseno) per trovare l’angolo, dato che abbiamo l’ipotenusa (2.40 km o 2400 m) e il lato opposto (160 m). La formula da utilizzare è:
\[\theta = \arcsin\left(\frac{\text{Lato opposto}}{\text{Ipotenusa}}\right) = \]
\[= \arcsin\left(\frac{160}{2400}\right) \approx 3.82^\circ\]
Parte (b): Calcolo della Distanza da Percorrere
Ora, vogliamo calcolare quanta strada l’automobilista deve ancora percorrere per aumentare la sua altitudine di altri 45 metri. Sappiamo che l’angolo di inclinazione della strada rimane lo stesso. Quindi, possiamo usare la funzione del seno per trovare l’ipotenusa, che in questo caso è la distanza che l’automobilista deve ancora percorrere. La formula da utilizzare è:
\[\text{Distanza} = \frac{\text{Lato opposto}}{\sin(\theta)}\]
dove,
– Lato opposto è l’aumento di altitudine che l’automobilista vuole raggiungere, cioè 45 metri.
– \(\theta\) è l’angolo che abbiamo trovato nella parte (a), cioè \(3.82\) gradi.
\[\text{Distanza} = \frac{45}{\sin(0.06667)} \approx 675.47 \ \text{metri}\]
Riassunto:
a) L’angolo che la strada forma con il piano orizzontale è di circa \(3.82\) gradi.
b) L’automobilista deve percorrere circa \(675.47\) metri per aumentare la sua altitudine di altri 45 metri.
In questo esercizio, abbiamo applicato diversi concetti chiave:
– Uso delle funzioni trigonometriche e delle loro inverse.
– Conversione tra diverse unità di misura (metri, chilometri, gradi, radianti).
– Applicazione della trigonometria nel contesto dei vettori e delle grandezze scalari e vettoriali.
– Interpretazione e applicazione dei dati forniti nel problema per calcolare le quantità richieste.
