Un gruppo di naturalisti
Categoria: FISICA | VETTORI | OPERAZIONI CON I VETTORI
Testo del quesito
Un gruppo di naturalisti sta studiando il comportamento di un orso selvatico dotato di un geolocalizzatore. Rispetto a un sistema di assi cartesiani in cui la posizione del team coincide con l’origine degli assi, l’animale si trova inizialmente nel punto $P_1$ (3,5 km; 4,7 km). L’orso si sposta poi nel punto $P_2$ (5,3 km; 6,1 km). Calcola il modulo del vettore spostamento dell’orso.
Introduzione all'Argomento
1) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità , che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
2) Operazioni con i vettori
In questo sotto-capitolo affronteremo concetti come la somma vettoriale, il prodotto scalare e vettoriale, nonché l’importanza del sistema di riferimento, illustrando come questi aspetti siano essenziali per risolvere problemi in cui interagiscono molteplici forze o velocità . I vettori non solo permettono di navigare abilmente attraverso gli intricati problemi della fisica, ma ci offrono anche una lente attraverso la quale visualizzare, comprendere e descrivere il comportamento del mondo che ci circonda in un modo geometricamente intuitivo e precisamente quantitativo.
Risoluzione – Un gruppo di naturalisti
Concetti chiave utilizzati:
1. Un vettore può essere rappresentato come una freccia che ha un punto di partenza e un punto di arrivo.
2. La somma tra due o più vettori si ottiene calcolando le componenti lungo gli assi cartesiani.
3. Il modulo di un vettore si può calcolare utilizzando il teorema di Pitagora.
Dati dell’esercizio:
– Punto iniziale \( P_1 \): (3,5 \text{ km}; 4,7 \text{ km})
– Punto finale \( P_2 \): (5,3 \text{ km}; 6,1 \text{ km})
Passaggi della risoluzione:
1. Calcolo del vettore spostamento:
Il vettore spostamento \( \vec{d} \) rappresenta la differenza tra la posizione finale e quella iniziale dell’orso. Questo vettore può essere calcolato come:
\[ \vec{d} = \vec{P_2} – \vec{P_1} \]
Dove:
\[ d_x = P_{2x} – P_{1x} = 1,8 \text{ km} \]
\[ d_y = P_{2y} – P_{1y} = 1,4 \text{ km} \]
2. Calcolo del modulo del vettore spostamento:
Una volta ottenute le componenti \( d_x \) e \( d_y \) del vettore spostamento, possiamo calcolare il suo modulo utilizzando il teorema di Pitagora:
\[ |d| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2} = 2.28035 \text{ km} \]
Risultato:
Il modulo del vettore spostamento dell’orso è di circa \( 2.28035 \text{ km} \).
Spiegazione:
Abbiamo iniziato determinando le componenti del vettore spostamento lungo gli assi x e y sottraendo le coordinate iniziali da quelle finali. Una volta ottenute queste componenti, abbiamo utilizzato il teorema di Pitagora per calcolare il modulo del vettore spostamento, che rappresenta la distanza effettiva percorsa dall’orso.
