Due amici spingono un’automobile in panne
Testo del quesito
Due amici spingono un’automobile in panne con due forze parallele e con lo stesso verso, di modulo rispettivamente 500 N e 400 N. Quanto vale la forza risultante? Quanto varrebbe la forza risultante se le direzioni formassero un angolo di 90°?
Introduzione all'Argomento
1) Forze
Le forze occupano una posizione particolarmente rilevante nella fisica, in quanto fungono da tramite tra la matematica e il mondo fisico che ci circonda. Esse non solo catalizzano il cambiamento, modellando il dinamismo e la struttura delle particelle, ma incarnano anche il fulcro attraverso il quale si snodano interazioni fondamentali, dall’attrazione gravitazionale alla forza elettromagnetica. Nello studio delle forze ci imbattiamo in concetti di causa ed effetto, azione e reazione, esplorando le leggi che governano il moto e studiando i meccanismi invisibili che regolano le particelle.
2) Vettori
I vettori sono pilastri fondamentali nella comprensione e nell’analisi di numerosi fenomeni fisici. Essi, in quanto entità matematiche dotate di direzione e modulo, permeano la vastità dei campi scientifici, svolgendo un ruolo chiave nell’esplorazione e nella descrizione del nostro universo. La teoria vettoriale trova le sue radici nella necessità di descrivere quantità fisiche, come la forza o la velocità, che sono intrinsecamente direzionali e che, pertanto, non possono essere espressamente rappresentate da mere grandezze scalari. Questo capitolo traccia perciò il sentiero attraverso il quale esploreremo la struttura e le proprietà dei vettori, mostrando la potenza e la versatilità di questo strumento matematico-fisico.
Risoluzione – Due amici spingono un’automobile in panne
La forza è una grandezza vettoriale caratterizzata da modulo, direzione e verso. Questo significa che quando sommiamo due forze, dobbiamo tener conto non solo dei loro moduli, ma anche delle direzioni e dei versi in cui agiscono.
Se su un corpo agiscono più forze, l’effetto complessivo corrisponde a quello prodotto da un’unica forza, detta forza risultante, pari alla somma vettoriale delle singole forze. Questo è noto come principio di sovrapposizione delle forze.
Dati dell’esercizio:
1. \( F_1 = 500 \) N (prima forza)
2. \( F_2 = 400 \) N (seconda forza)
3. Nel primo caso, le forze sono parallele e con lo stesso verso.
4. Nel secondo caso, le forze formano un angolo di 90° tra di loro.
Risoluzione – Primo caso (forze parallele e con lo stesso verso):
Poiché le forze sono parallele e hanno lo stesso verso, la forza risultante sarà semplicemente la somma algebrica dei loro moduli:
\[ F_{\text{tot}} = F_1 + F_2 \]
\[ F_{\text{tot}} = 500 \text{ N} + 400 \text{ N} = 900 \text{ N} \]
Risultato – Primo caso:
La forza risultante quando le due forze sono parallele e con lo stesso verso è \( F_{\text{tot}} = 900 \) N.
Risoluzione – Secondo caso (forze con un angolo di 90° tra di loro):
Quando due forze formano un angolo tra di loro, dobbiamo scomporre ciascuna forza nelle sue componenti lungo gli assi cartesiani utilizzando le funzioni seno e coseno.
Scomponiamo le forze lungo gli assi:
\[ F_{1_x} = F_1 \cos(0°) \]
\[ F_{1_y} = F_1 \sin(0°) \]
\[ F_{2_x} = F_2 \cos(90°) \]
\[ F_{2_y} = F_2 \sin(90°) \]
Dai calcoli otteniamo le seguenti componenti:
\[ F_{1_x} = 500 \text{ N} \]
\[ F_{1_y} = 0 \text{ N} \]
\[ F_{2_x} = 0 \text{ N} \]
\[ F_{2_y} = 400 \text{ N} \]
Ora, sommiamo le componenti lungo gli assi x e y:
\[ F_{\text{tot}_x} = F_{1_x} + F_{2_x} \]
\[ F_{\text{tot}_y} = F_{1_y} + F_{2_y} \]
\[ F_{\text{tot}_x} = 500 \text{ N} + 0 \text{ N} = 500 \text{ N} \]
\[ F_{\text{tot}_y} = 0 \text{ N} + 400 \text{ N} = 400 \text{ N} \]
Utilizziamo il teorema di Pitagora per trovare la forza risultante:
\[ F_{\text{tot}} = \sqrt{ F_{\text{tot}_x}^2 + F_{\text{tot}_y}^2 } \]
\[ F_{\text{tot}} \approx 640.31 \text{ N} \]
Risultato – Secondo caso:
La forza risultante quando le due forze formano un angolo di 90° tra di loro è \( F_{\text{tot}} \approx 640.31 \) N.
Riepilogo:
1. Quando le due forze sono parallele e con lo stesso verso, la forza risultante è \( F_{\text{tot}} = 900 \) N.
2. Quando le due forze formano un angolo di 90° tra di loro, la forza risultante è \( F_{\text{tot}} \approx 640.31 \) N.
