Scrivi l’equazione della parabola tangente
Categoria: MATEMATICA |
Testo del Quesito:
Scrivi l’equazione della parabola tangente nell’origine alla retta r: y = -2x e passante per il punto A(-8;0). Detto V il vertice della parabola, determina per quale posizione del punto P sull’arco AV l’area del triangolo vale 2.
Introduzione all’Argomento:
La geometria analitica è quella materia che fa da collante tra l’algebra e la geometria. Tratta infatti lo studio di luoghi geometrici e figure piane all’interno di uno spazio bidimensionale (chiamato piano Cartesiano) e ognuno di questi è individuabile e rappresentabile tramite la sua specifica equazione. Siamo dunque di fronte a una disciplina affascinante ed estremamente intuitiva, in cui l’acutezza e la raffinatezza del pensiero prevalgono sul mero studio mnemonico di formule.
Analisi dell’Esercizio:
Scrivi l’equazione della parabola … Per quanto possa sembrare complicato, tutto ciò che ci serve per risolvere nell’esercizio è contenuto nelle due righe del testo. Per determinare l’equazione della parabola dobbiamo infatti trovare tre condizioni che ci permettano di calcolare i coefficienti a, b e c, mentre per quanto riguarda il punto P, basterà applicare qualche formula proveniente dal mondo della geometria. Distanza punto retta, teorema di Pitagora e formule analoghe vanno sapute alla perfezione, se non si vuole rischiare di incappare in qualche difficoltà.
Risoluzione dell’Esercizio:
L’equazione generale di una parabola è:
$$y=ax^2+bx+c$$
Per determinare l’equazione di una parabola sono necessarie tre condizioni:
1^CONDIZIONE – passaggio per il punto $A(-8;0)$
$$0=a(-8)^2+b(-8)+c$$
ovvero:
$$64a-8b+c=0$$
2^CONDIZIONE – passaggio per l’origine $O(0;0)$
$$0=a(0)^2+b(0)+c$$
ovvero:
$$c=0$$
3^CONDIZIONE – tangenza con la retta $r:y=-2x$
$$\begin{equation}
\begin{cases}
y=ax^2+bx+c\\\\y=-2x
\end{cases}
\end{equation}$$
da cui ricavo la seguente equazione di secondo grado:
$$-2x=ax^2+bx+c$$
ovvero:
$$ax^2+(b+2)x+c=0$$
Calcolo il delta dell’equazione e lo pongo uguale a zero ($\Delta=0$), impongo cioè la condizione di tangenza:
$$\Delta =b^2-4ac=(b+2)^2-4ac=0$$
Ora che ho scritto le tre condizioni necessarie per determinare l’equazione della parabola, le metto a sistema:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
64a-8b+c=0\\\\c=0\\\\(b+2)^2-4ac=0\end{cases}\end{equation}$$
da cui ricavo:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
64a-8b=0\\\\c=0\\\\(b+2)^2=0\end{cases}
\end{equation}$$
Risolvo la terza equazione:
$$(b+2)^2=0
\Leftrightarrow
b=-2$$
Sostituisco il valore trovato nella prima equazione e ottengo:
$$64a-8(-2)=0 \Leftrightarrow
64a=-16\Leftrightarrow a=-\frac{1}{4}$$
Quindi i tre parametri sono:
$$\begin{equation}
\begin{cases}
a=-\frac{1}{4}\\\\c=0\\\\b=-2\end{cases}\end{equation}$$
L’equazione della parabola è la seguente:
$$y=-\frac{1}{4}x^2-2x$$
Determino il vertice della parabola, sapendo che:
$$x_V=-\frac{b}{2a}
=-\frac{-2}{2(-\frac{1}{4})}=-4$$
Perciò:
$$y_V=-\frac{1}{4}(-4)^2-2(-4)=4$$
Il vertice è dunque: $V(-4;4)$.
Il punto $P(x_P;y_P)$ si trova sull’arco $AY$, dunque le sue coordinate devono essere comprese tra quelle di $A(-8;0)$ e $V(-4;4)$, ovvero:
$$P:\begin{equation}
\begin{cases}
-8<x_P<-4\\\\0<y_P<4\end{cases}\end{equation}$$
L’area del triangolo $AVP$ è data da:
$$A_{AVP}=\frac{AV \times PH}{2}$$
Determino la lunghezza di $AV$:
$$AV=\sqrt{(x_A-x_V)^2+(y_A-y_V)^2}$$
da cui:
$$AV=\sqrt{(-8-(-4))^2+(0-4)^2}=$$
$$=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$$
Determino ora la retta $AV$:
- coefficiente angolare: $m_{AV}=\frac{y_A-y_V}{x_A-x_V}$ da cui: $m_{AV}=\frac{0-4}{-8-(-4)}=1$
impongo il passaggio per $A(-8;0)$: $0=(-8)+q \Leftrightarrow
q=8$
Perciò la retta $AV$ ha equazione:
$$AV: y=x+8 \Leftrightarrow
x-y+8=0$$
Determino ora la lunghezza del segmento $PH$ utilizzando la formula distanza punto-retta:
$$PH=\frac{\left|ax_P+by_p+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
da cui:
$$PH=\frac{\left|x_P-y_p+8\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}
=
\frac{\left|x_P-y_p+8\right|}{\sqrt{2}}$$
Dato che $P(x_p;y_p)$ appartiene alla parabola, posso riscrivere:
$$y_P=-\frac{1}{4}x_P^2-2x_P$$
Dunque:
$$PH=
\frac{\left|x_P+\frac{1}{4}x_P^2+2x_P+8\right|}{\sqrt{2}}
=$$
$$=
\frac{\left|\frac{1}{4}x_P^2+3x_P+8\right|}{\sqrt{2}}$$
Calcolo l’area del triangolo $APV$ (che, da testo, so valere 2):
$$A_{AVP}=\frac{AV \times PH}{2}=$$
$$=\frac{4\sqrt2 \times \frac{\left|\frac{1}{4}x_P^2+3x_P+8\right|}{\sqrt{2}}
}{2}=2$$
semplificando ricavo che:
$$\left|\frac{1}{4}x_P^2+3x_P+8\right|=1$$
Distinguo i due casi:
$$\frac{1}{4}x_P^2+3x_P+8=1\vee\frac{1}{4}x_P^2+3x_P+8=1$$
Risolvendo le due equazioni di secondo grado ottengo i seguenti risultati:
- $x_P=2(-3\pm\sqrt{2})$: non accettabile
- $x_P=-6$: accettabile
Bisogna infatti ricordare che abbiamo stabilito che $$-8<x_P<-4$$
Determino ora l’ordinata di $P(-6;y_p)$ ricordando che esso è un punto della parabola:
$$y_P=-\frac{1}{4}(-6)^2-2(-6)=3$$
Perciò il punto da trovare è $P(-6;3)$.
