Una scatola di 2.3 kg scende
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una scatola di 2.3 kg scende lungo un piano inclinato alto 1,2 m e lungo 3,8 m con accelerazione 2,5 m/s^2.
a) Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra la scatola e il piano?
b) Determina la forza di reazione vincolare.
Introduzione all’Argomento:
La dinamica dei corpi è un ramo della meccanica newtoniana che si occupa dello studio del moto dei corpi a partire dalle forze che lo causano o delle circostanze che lo determinano e lo modificano nel tempo e nello spazio del suo sistema di riferimento. Nella dinamica dei corpi si effettua quindi lo studio del moto, ma è bene fare una considerazione, non consideriamo il corpo come rigido, bensì come punto materiale. Di fondamentale importanza sono le tre leggi di Newton (il principio di inerzia, il principio di proporzionalità e il principio di azione e reazione) e il concetto di relatività galileiana.
Analisi dell’Esercizio:
L’esercizio in questione è un classico esempio di applicazione della condizione di equilibrio e del secondo principio della dinamica (una scatola di 2.3 kg scende lungo un piano inclinato con una certa accelerazione). Nel primo punto dobbiamo infatti scrivere la relazione che lega le forze e l’accelerazione acquisita dal sistema (secondo principio per l’appunto) per poi esplicitare il coefficiente di attrito dinamico che dobbiamo trovare. Nel secondo punto, invece, ci troviamo a dover soddisfare la condizione di equilibrio; lungo la direzione perpendicolare al piano il corpo è fermo, il che implica un’uguaglianza tra la componente y del peso e la reazione vincolare.
Risoluzione dell’Esercizio:
Per prima cosa determiniamo la lunghezza del cateto $b$. Per farlo determiniamo il valore di $\beta$, sapendo:
$$h=l\sin\beta$$
da cui:
$$\beta=\sin^{-1}\left(\frac{h}{l}\right)=\sin^{-1}\left(\frac{1,2m}{3,8m}\right)=18,41^\circ$$
dunque, il cateto $b$ misura:
$$b=\sqrt{l^2-h^2}=$$
$$=\sqrt{(3,8m)^2-(1,2m)^2}=3,6m$$
Applichiamo il secondo principio della dinamica:
$$F_{p_x}-F_{att}=mg\sin\beta-\mu mg\cos\beta=ma$$
Sapendo che seno e coseno possono essere riscritti come rapporto tra i lati del triangolo rettangolo:
$$mg\frac{h}{l}-\mu mg\frac{b}{l}=ma$$
Semplifichiamo la massa ed esplicitiamo il coefficiente di attrito dinamico:
$$\mu=\frac{g\frac{h}{l}-a}{g\frac{b}{l}}=\frac{gh-al}{gb}=$$
$$=\frac{\left(9,81\frac{m}{s^2}\times1,2m\right)-\left(2,5\frac{m}{s^2}\times3,8m\right)}{9,81\frac{m}{s^2}\times3,6m}=$$
$$=0,0643$$
Per trovare la forza di reazione vincolare calcoliamo per prima cosa il peso:
$$P=mg=2,3kg\times9,81\frac{m}{s^2}=22,56N$$
Calcoliamo ora la componente perpendicolare $F_\perp$:
$$F_\perp=P\cos\beta=$$
$$=22,56N\times\cos18,41^\circ=21,408N$$
Dal momento che, nella direzione perpendicolare al piano inclinato, la scatola è in equilibrio, forza vincolare e componente perpendicolare della forza peso hanno ugual modulo (si controbilanciano). Dunque:
$$F_n=F_\perp=21,408N$$
