Due distribuzioni lineari di carica sono disposte
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due distribuzioni lineari di carica sono disposte parallelamente a distanza d = 2,0 m l’una dall’altra. Le due densità lineari di carica sono, rispettivamente, λ1 = 4,0 x 10^-3 C/m e λ2 = 1,0 x 10^-3 C/m.
1. Calcola il modulo del campo elettrico nel punto P equidistante tra i due fili. Quali sono direzione e verso del campo elettrico?
2. In quali punti è nullo il campo elettrico totale?
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio abbiamo due distribuzioni lineari di carica che sono disposte parallelamente. Essendo carichi positivamente, i campi elettrici generati dai due fili saranno uscenti. Fatta questa premessa non ci resta altro che applicare l’apposita formula e sfruttare il principio di sovrapposizione per determinare il modulo del campo elettrico complessivo nel punto P. Per rispondere al secondo quesito, invece, sarà sufficiente imporre l’uguaglianza tra i due campi elettrici generati dai fili ed esplicitare la distanza x in cui deve trovarsi il punto affinché quanto richiesto accada.
Risoluzione dell’Esercizio:
Dal momento che entrambi i fili sono caricati positivamente, i due campi elettrici saranno indirizzati come in figura.
Determino il modulo dei singoli campi in P sapendo che esso è equidistante dai due fili $\left(r=\frac{d}{2}=1,0m\right)$:
$$E_1=\frac{\lambda_1}{2\pi\epsilon_0r}
=$$
$$=
\frac{4,0\times10^{-3}\frac{C}{m}}
{2\pi\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\times1,0m}=$$
$$=7,2\times10^7\frac{N}{C}$$
$$E_2=\frac{\lambda_2}{2\pi\epsilon_0r}
=$$
$$=
\frac{1,0\times10^{-3}\frac{C}{m}}
{2\pi\times8,854\times10^{-12}\frac{C^2}{Nm^2}\times1,0m}=$$
$$=1,8\times10^7\frac{N}{C}$$
Calcolo ora il modulo del campo elettrico risultante in P applicando il principio di sovrapposizione:
$$E_{tot}=E_1-E_2=$$
$$=(7,2-1,8)\times10^7\frac{N}{C}
=5,4\times10^7\frac{N}{C}$$
Essendo entrambi i campi elettrici uscenti, affinché il campo elettrico totale sia nullo, devo trovare un punto tra le due distribuzioni di carica che si trovi a distanza $x$ dal primo filo (e quindi a distanza $d-x$ dal secondo) tale per cui:
$$E_1=E_2$$
perciò:
$$\frac{\lambda_1}{2\pi\epsilon_0x}
=
\frac{\lambda_2}{2\pi\epsilon_0(d-x)}$$
semplificando:
$$\frac{\lambda_1}{x}
=
\frac{\lambda_2}{d-x}$$
tramite opportuni passaggi matematici e sostituendo i valori numerici:
$$4,0\times10^{-3}\frac{C}{m}(2,0m-x)=1,0\times10^{-3}\frac{C}{m}x$$
da cui ricavo che:
$$x=\frac{8}{5}m=1,6m$$
