Una cometa durante la sua orbita intorno
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una cometa durante la sua orbita intorno al Sole passa nel punto di afelio, che si trova a 36 UA dal Sole, con la velocità di 0,90 km/s. La massa della cometa è 6,0 x 10^10 kg.
1. Calcola l’area spazzata dal suo raggio vettore in 1,0 s (1 UA = 1,50 x 10^11 m).
2. Quanto vale l’area spazzata al perielio sempre in 1,0 s?
3. Calcola il modulo del momento angolare della cometa rispetto al centro del Sole quando si trova nel punto di afelio.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una cometa che durante la sua orbita intorno al Sole passa in afelio. Per determinare l’area spazzata dal raggio vettore, la assimiliamo ad un triangolo che ha per base la distanza percorsa nell’intervallo di tempo e per altezza il raggio vettore. La seconda legge di Keplero afferma che il raggio vettore che va dal Sole a un corpo celeste spazza aree uguali in tempi uguali, perciò anche in perielio avremo la medesima area. Infine calcoliamo il modulo del momento angolare della cometa rispetto al centro del Sole quando si trova nel punto di afelio applicandone la definizione (l’unica cosa a cui bisogna stare attenti è l’ammontare della distanza da considerare, che deve comprendere anche il raggio solare).
Risoluzione dell’Esercizio:
So che posso assimilare l’area spazzata dal raggio vettore di un corpo celeste ad un triangolo che ha per base la distanza percorsa in un intervallo di tempo e per altezza il raggio vettore.
Perciò:
$$A_{afelio}=\frac{bh}{2}=\frac{\Delta xr}{2}=\frac{(v\Delta t)r}{2}
=$$
$$=
\frac{900\frac{m}{s}\times1,0s\times36\times1,50\times10^{11}m}{2}=$$
$$=2,43\times10^{15}m^2$$
La seconda legge di Keplero afferma che il raggio vettore che va dal Sole a un corpo celeste spazza aree uguali in tempi uguali, perciò anche in perielio, in 1,0 s, avremo la medesima area:
$$A_{perielio}=A_{afelio}=2,43\times10^{15}m^2$$
Per determinare il momento angolare della cometa rispetto al centro del sole quando essa si trova nel punto di Afelio applico la definizione di momento angolare, ricordando che la velocità tangenziale forma un angolo di 90° con il raggio vettore e che la distanza da considerare è la somma tra il raggio vettore e il raggio del Sole (ci viene chiesto il momento angolare rispetto al CENTRO):
$$L=dp\sin\alpha
=
(r+r_{sole})mv\sin90^\circ
=$$
$$=(r+r_{sole})mv
=(36\times1,5\times10^{11}+$$
$$+6,96\times10^8)m\times6,0\times10^{10}kg\times900\frac{m}{s}=$$
$$=2,9\times10^{26}J\cdot s$$
