Esercizio

MATERIA – FISICA

Un guscio cilindrico di massa 1.7 kg rotola

Un guscio cilindrico di massa 1.7 kg rotola

Categoria: FISICA |

Testo del Quesito:

Un guscio cilindrico di massa 1.7 kg rotola senza strisciare su una superficie piana. La sua energia cinetica è pari a 8,2 J.
1. Calcola la velocità del centro di massa del guscio cilindrico.
2. Determina l’energia cinetica associata alla rotazione.

Introduzione all’Argomento:

La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale (dotata quindi di direzione, verso e modulo) che, per definizione, è data dal prodotto tra la massa e la velocità del corpo stesso. In un qualsiasi sistema di riferimento inerziale (dove vale cioè il principio di inerzia), essa è una grandezza fisica conservativa. Riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendo di determinare il vettore velocità dei corpi dopo l’urto (direzione, verso e modulo), e nello studio del momento angolare (o momento della quantità di moto).

Analisi dell’Esercizio:

In questo esercizio vi è un guscio cilindrico di massa 1.7 kg che rotola senza strisciare. Dal momento che il rotolamento è la combinazione di due moti simultanei (una rotazione e una traslazione) l’energia cinetica totale si ottiene dalla somma delle singole energie cinetiche di rotazione e traslazione. Ricordando la relazione che ci permette di esprimere la velocità tangenziale in funzione di quella angolare e conoscendo il momento di inerzia del guscio cilindrico, possiamo prima determinare la velocità del centro di massa e poi fare lo stesso con l’energia cinetica di rotazione. Dopo aver svolto i calcoli è interessante notare che, nel caso del guscio sferico, energia cinetica di rotazione e di traslazione assumono il medesimo valore.

Risoluzione dell’Esercizio:

So che il rotolamento è la combinazione di due moti simultanei: una rotazione e una traslazione. L’energia cinetica totale deve perciò tenerne conto e sarà quindi pari a:

$$K=K_{traslazione}+K_{rotazione}
=$$

$$=
\frac{1}{2}mv_{cm}^2+\frac{1}{2}I\omega^2$$

Sapendo che $v_{cm}=\omega r$ posso riscriverla come:

$$K
=
\frac{1}{2}m(\omega r)^2+\frac{1}{2}I\omega^2
=\frac{1}{2}(mr^2+I)\omega^2$$

Sapendo che il momento di inerzia di un guscio cilindrico è dato da: $I=mr^2$, posso riscrivere la relazione come:

$$K
=
\frac{1}{2}(mr^2+mr^2)\omega^2
=
mr^2\omega^2
=$$

$$=
mr^2\frac{v_{cm}^2}{r^2}
=mv_{cm}^2$$

da cui:

$$v_{cm}
=
\sqrt
{\frac{K}{m}}
=
\sqrt{
\frac{8,2J}{1,7kg}}
=
2,2\frac{m}{s}$$

Determino ora l’energia cinetica di rotazione applicandone la definizione:

$$K_{rotazione}
=
\frac{1}{2}I\omega^2
=
\frac{1}{2}mr^2\frac{v_{cm}^2}{r^2}
=
\frac{1}{2}mv_{cm}^2$$

$$=
\frac{1}{2}\times1,7kg\times\left(2,2\frac{m}{s}\right)^2=4,1J$$

E’ interessante notare che, nel caso di guscio sferico, energia cinetica di rotazione ed energia cinetica di traslazione hanno il medesimo valore.

Condividi l’esercizio coi tuoi compagni:

WhatsApp
Email
Telegram