Un razzo di prova di 100 kg viene sparato da
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Un razzo di prova di 100 kg viene sparato da un cannone inclinato di 45° con una velocità iniziale di 80,0 m/s. Durante il moto parabolico, il razzo esplode spezzandosi in due frammenti. Un frammento di 70,0 kg viene rinvenuto a una distanza di 100 m dal cannone.
1. Quale traiettoria segue il centro di massa?
2. Dove si trova l’altro frammento?
Introduzione all’Argomento:
La quantità di moto di un corpo è una grandezza vettoriale (dotata quindi di direzione, verso e modulo) che, per definizione, è data dal prodotto tra la massa e la velocità del corpo stesso. In un qualsiasi sistema di riferimento inerziale (dove vale cioè il principio di inerzia), essa è una grandezza fisica conservativa. Riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendo di determinare il vettore velocità dei corpi dopo l’urto (direzione, verso e modulo), e nello studio del momento angolare (o momento della quantità di moto).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un razzo di prova di 100 kg che viene sparato da un cannone con una certa inclinazione e una certa velocità. Dopo essere esplosi, i due frammenti si dividono e cadono a distanze differenti. Per determinare la posizione del secondo frammento è fondamentale ricordare che il centro di massa del sistema continua a procedere di moto parabolico (anche dopo l’esplosione). Possiamo dunque sfruttare la sua definizione per ottenere quanto richiesto dal quesito.
Risoluzione dell’Esercizio:
Trovandomi in un moto parabolico, so che il centro di massa seguirà un moto rettilineo uniforme lungo l’orizzontale e un moto rettilineo uniformemente decelerato lungo la verticale. In particolare:
$$X_C=v_{0_x}t=(v_{0}\cos\alpha)t,(1)$$
$$Y_C=v_{0_y}t-\frac{1}{2}gt^2
=
(v_{0}\sin\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2,(2)$$
Esplicito il tempo $t$ nella $(1)$:
$$t=\frac{X_C}{v_0\cos\alpha}$$
E lo sostituisco nella $(2)$:
$$Y_C=v_{0}\sin\alpha\frac{X_C}{v_0\cos\alpha}-\frac{1}{2}g\left(\frac{X_C}{v_0\cos\alpha}\right)^2
=$$
$$=
X_{C}\tan\alpha -\frac{gX_C^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}$$
Quando entrambi i frammenti cadono a terra, la posizione verticale del centro di massa è pari a zero, dunque:
$$Y_C=0$$
da cui:
$$X_{C}\tan\alpha -\frac{gX_C^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}
=
0$$
esplicitando $X_C$ (sapendo che non può essere pari a zero posso semplificare):
$$X_C
=
\frac{2v_0^2\tan\alpha\cos^2\alpha}{g}
=
\frac{2v_0^2\sin\alpha\cos\alpha}{g}
=$$
$$=
\frac{2\times(80,0\frac{m}{s})^2\sin45^\circ\cos45^\circ}{9,81\frac{m}{s^2}}
=
652m$$
(non è altro che la formula della GITTATA!)
Determino ora la posizione del secondo frammento partendo dalla definizione di centro di massa:
$$X_C
=
\frac{m_1X_1+m_2X_2}{m_1+m_2}$$
da cui:
$$X_2
=
\frac{(m_1+m_2)X_C-m_1X_1}{m_2}
=$$
$$=
\frac{(70+30)kg\times652m-70kg\times100m}{30kg}
=$$
$$=
1940m\approx1,9\times10^3m$$
