Tre asteroidi disposti come in figura hanno
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Tre asteroidi disposti come in figura hanno masse mA = 2,7 x 10^5 kg, mB = 8,1 x 10^6 kg e mC= 5,3 x 10^8 kg. La distanza tra l’asteroide A e quello B è rAB = 3,2 x 10^4 m. La forza totale che agisce sull’asteroide A ha modulo pari a 3,2 x 10^-7 N. Determina la distanza tra gli asteroidi A e C.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono tre asteroidi disposti come in figura (v. pdf sottostante) che hanno delle certe masse. La forza risultante agente sul corpo A è data dalla somma vettoriale delle singole forze di attrazione gravitazionali esercitate da B e C. I tre asteroidi sono disposti sui vertici di un triangolo rettangolo. Possiamo dunque applicare il teorema di Pitagora per determinare la forza esercitata da C su A. A questo punto, partendo dalla legge di gravitazione universale, esplicitiamo la distanza tra A e C. Sostituiamo infine i valori numerici e calcoliamo così il risultato richiesto.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino la forze esercitata da B su A:
$$F_{BA}
=
G
\frac{m_Bm_A}{r_{AB}^2}
=
6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}
\times$$
$$\times
\frac{8,1\times10^6kg \times 2,7\times10^5kg}{(3,2\times10^4m)^2}
=$$
$$=
1,42\times10^{-7}N$$
Dalla rappresentazione grafica posso osservare che $\vec F_{BA}$ e $\vec F_{CA}$ sono perpendicolari, perciò la forza risultante ha un modulo che si ottiene applicando il teorema di Pitagora.
Ciò significa che:
$$F_{CA}=\sqrt{F_A^2-F_{BA}^2}=$$
$$=\sqrt{…}=2,87\times10^{-7}N$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Determino ora la distanza tra gli asteroidi A e C partendo dalla legge di gravitazione universale:
$$F_{CA}
=
G
\frac{m_Am_C}{r_{AC}^2}$$
da cui:
$$r_{AC}=\sqrt{\frac{Gm_Am_C}{F_{CA}}}=\sqrt
{…}=1,8\times10^5m$$
(i calcoli non sono riportati per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
