In una galassia si trova un gruppo di tre stelle
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
In una galassia si trova un gruppo di tre stelle, che hanno masse m1 = 5,13 x 10^31 kg, m2 = 4,52 x 10^32 kg, m3 = 1,88 x 10^35 kg. La distanza tra le stelle 1 e 3 è r = 1,42 x 10^16 m mentre quella tra le stelle 2 e 3 misura R = 3,76 x 10^16 m. La stella 3 forma con le altre due stelle un angolo di 72,3°. Determina il modulo della forza risultante esercitata dalle stelle 1 e 2 sulla stella 3.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci troviamo in una galassia dove si trova un gruppo di tre stelle. Conoscendo la disposizione reciproca dei tre corpi possiamo comprendere che la risultante che agisce sulla stella 3 è data dalla somma vettoriale delle singole forze. Scomponiamo dunque queste lungo gli assi in modo da poterle addizionare. Fatto ciò, non ci resterà altro da fare che applicare il teorema di Pitagora e calcolare quindi il modulo richiesto dal quesito.
Risoluzione dell’Esercizio:
Determino i moduli delle forze gravitazionali che agiscono sulla stella 3:
$$F_{13}
=
G
\frac{m_1m_3}{r}
=$$
$$=6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}
\times$$
$$\times\frac{5,13\times10^{31}kg\times1,88\times10^{35}kg}{(1,42\times10^{16}m)^2}
=$$
$$=3,2\times10^{24}N$$
$$F_{23}
=
G
\frac{m_2m_3}{R}
=$$
$$6,67\times10^{-11}\frac{Nm^2}{kg^2}
\times$$
$$\times\frac{4,52\times10^{32}kg\times1,88\times10^{35}kg}{(3,76\times10^{16}m)^2}
=$$
$$=4,0\times10^{24}N$$
Dalla rappresentazione grafica posso notare che la forza $\vec F_{23}$ è inclinata di 72,3° rispetto all’orizzontale; determino dunque le sue componenti cartesiane:
$$F_{{23}_x}=F_{23}\cos\alpha=$$
$$=4,0\times10^{24}N\times \cos (72,3^\circ)
=$$
$$=1,2\times10^{24}N$$
$$F_{{23}_y}=F_{23}\sin\alpha=$$
$$=4,0\times10^{24}N\times \sin (72,3^\circ)
=$$
$$=3,8\times10^{24}N$$
Calcolo ora le componenti cartesiane della risultante:
$$F_{3_x}=F_{{13}_x}+F_{{23}_x}=F_{13}+F_{{23}_x}
=$$
$$=3,2\times10^{24}N+1,2\times10^{24}N
=$$
$$=4,4\times10^{24}N$$
$$F_{3_y}=F_{{13}_y}+F_{{23}_y}=0+F_{{23}_y}
=$$
$$=3,8\times10^{24}N$$
Determino infine il modulo della risultante applicando il teorema di Pitagora:
$$F_{3}
=
\sqrt{F_{3_x}^2+F_{3_y}^2}
=$$
$$=\sqrt{(4,4\times10^{24}N)^2+(3,8\times10^{24}N)^2}
=$$
$$=5,83\times10^{24}N$$
