Due corpi celesti che hanno rispettivamente massa
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due corpi celesti che hanno rispettivamente massa M = 4,27 x 10^18 kg e m = 6,38 x 10^17 kg si trovano alla distanza di 5,21 x 10^9 m. Determina lungo la retta che congiunge i centri dei due corpi, la distanza dal centro del corpo di massa M di un punto P in cui il campo gravitazionale totale, dovuto solo alla presenza dei due corpi, sia nullo.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono due corpi celesti che hanno rispettivamente massa M e m. Dal momento che il campo gravitazionale deve essere nullo, significa che il punto P richiesto dal quesito deve essere compreso tra i corpi stessi. Sappiamo infatti che la gravitazione è sempre di tipo attrattivo. Scriviamo dunque in formule la richiesta dell’esercizio sapendo che dovremo fare la differenza tra i singoli campi. Detta x la distanza tra il corpo di massa M e il punto P, non dovremo fare altro che esplicitare la relazione instaurata precedentemente. Dopodiché risolviamo l’equazione di secondo grado che viene a formarsi (uno dei due risultati sarà da scartare).
Risoluzione dell’Esercizio:
Dal momento che il campo gravitazionale deve essere nullo, significa che il punto deve essere compreso tra i due corpi. Sappiamo infatti che la gravitazione è sempre di tipo attrattivo.
Scrivo dunque in formule la richiesta dell’esercizio sapendo che, trovandosi il punto di interesse tra i due corpi, dovremo fare la differenza tra i singoli campi gravitazionali:
$$g_m-g_M=0$$
ovvero:
$$g_m=g_M$$
Sia $x$ la distanza dal centro del corpo di massa M del punto P, posso riscrivere la relazione come:
$$G\frac{M_m}{(d-x)^2}=G\frac{M_M}{x^2}$$
Semplificando la costante di gravitazione ed esplicitando rispetto alla distanza tra il corpo di massa M e il punto P ottengo un’equazione di secondo grado:
$$(M_M-M_m)x^2-2M_Mdx+M_md^2=0$$
Sostituendo i valori numerici e facendo i calcoli ottengo (tralascio le unità di misura per alleggerire la scrittura):
$$3,63\times10^{18}x^2-4,45\times10^{28}x+$$
$$+1,16\times10^{38}=0$$
Risolvendo ottengo i seguenti valori:
$$x=8,50\times10^9m$$
(non accettabile perché superiore alla distanza tra i due corpi celesti – verrebbe meno l’ipotesi iniziale secondo la quale il punto P deve stare tra i due corpi )
$$x=3,76\times10^9m$$
