Attorno a una stella di massa M = 2.71 x 10^35 kg
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Attorno a una stella di massa M = 2.71 x 10^35 kg orbita un pianeta di massa m = 8,96 x 10^25 kg. L’ellisse descritta dal pianeta ha un semiasse maggiore lungo 5,48 x 10^13 m e una eccentricità pari a 0,412. A un certo istante il modulo della velocità del pianeta è v = 5,42 x 10^5 m/s.
1. Calcola la distanza tra il pianeta e la stella in quel momento.
2. Determina, nello stesso istante, il valore dell’angolo acuto formato dalla velocità vettoriale del pianeta con raggio vettore che congiunge la stella al pianeta stesso.
Introduzione all’Argomento:
La gravitazione (o interazione gravitazionale), è interpretata nella fisica classica come una forza conservativa attrattiva tra due corpi dotati di massa propria e dislocati a una certa distanza. La sua definizione viene però completata nella fisica moderna, in cui viene definita in ogni suo aspetto grazie alla relatività generale (viene estesa la definizione alla curvatura spazio-temporale). Di fondamentale importanza per la risoluzione dei nostri esercizi è la legge di gravitazione universale, la quale afferma che due punti materiali si attraggono con una forza di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle masse dei singoli corpi e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è un pianeta che orbita attorno a una stella di massa M = 2.71 x 10^35 kg. Essendo in un’orbita ellittica sappiamo che l’energia totale del sistema può essere espressa come -G (mM) / (2a) (vedi https://schout.it/2022/04/04/un-pianeta-di-massa-m-esegue/ ). Possiamo dunque esprimere l’energia cinetica in maniera tale da poter esplicitare la distanza r del pianeta dalla sua stella. Si tratta di una formula alquanto complessa, pertanto dobbiamo prestare molta attenzione ai singoli passaggi matematici per non rischiare di incorrere in errore. Conoscendo poi eccentricità e semiasse maggiore dell’ellisse, determiniamo semiasse minore e distanza focale. A questo punto calcoliamo l’angolo acuto formato dal raggio vettore e il vettore velocità applicando i teoremi sui triangoli rettangoli.
Risoluzione dell’Esercizio:
Essendo in un’orbita ellittica, l’energia totale del sistema è data dalla seguente formula:
$$E_{tot}=-G\frac{mM}{2a}$$
(v. https://schout.it/2022/04/04/un-pianeta-di-massa-m-esegue/ )
Posso dunque esprimere l’energia cinetica come:
$$K=E_{tot}-U$$
in esteso:
$$\frac{1}{2}mv^2
=
-G\frac{mM}{2a}
+
G\frac{mM}{r}$$
da cui (tolgo i denominatori):
$$v^2ar=-GMr+2aGM$$
esplicitando rispetto a $r$:
r=\frac{2aGM}{v^2a+GM}
=5,79\times10^{13}m$$
(non riportiamo i calcoli per questioni di spazio, ma sono comunque presenti nel file PDF allegato)
Dunque, nell’istante descritto dal quesito, il pianeta si trova a una distanza $r=5,79\times10^{13}m$.
Determino la distanza focale partendo dalla definizione di eccentricità:
$$e=\frac{c}{a}$$
da cui:
$$c=ea=$$
$$=0,412\times5,48\times10^{13}m
=2,26\times10^{13}m$$
Determino ora la lunghezza del semiasse minore:
$$a^2-b^2=c^2$$
da cui:
$$b=\sqrt{a^2-c^2}=$$
$$=
\sqrt{(5,48\times10^{13}m)^2-(2,26\times10^{13}m)^2}
=$$
$$=5,00\times10^{13}m$$
Determino ora l’angolo che c’è tra il raggio vettore e la velocità applicando i teoremi dei triangoli rettangoli (v. Figura iniziale: a noi interessa l’angolo $\theta$):
$$\tan\theta
=
\frac{b}{c}$$
da cui:
$$\theta
=
\tan^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)
=$$
$$=\tan^{-1}\left(\frac{5,00\times10^{13}m}{2,26\times10^{13}m}\right)
=65,7^\circ$$
