Quattro cariche identiche +Q occupano i vertici
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Quattro cariche identiche +Q occupano i vertici di un quadrato di lato a. Una quinta carica q può essere posta in qualsiasi posizione si desideri. Determina la posizione e il valore della quinta carica affinché la forza elettrica risultante su ognuna delle quattro cariche originali +Q sia pari a zero.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono quattro cariche identiche +Q che occupano i vertici di un quadrato di lato a. Essendo le quattro cariche identiche, per fare in modo che ognuna di esse sia sottoposta a una risultante nulla è necessario che la quinta carica sia collocata alla medesima distanza da ognuna di esse. Ciò significa che essa dovrà situarsi nel centro del quadrato. Essa dovrà poi essere negativa, in quanto per equilibrare forze di tipo repulsivo è necessaria una forza di tipo attrattivo. Analizziamo ora le forze che agiscono su una delle quattro cariche (il ragionamento da fare è il medesimo per tutte) e imponiamo la condizione di equilibrio. A questo punto non ci resta altro da fare che sostituire le grandezze di cui disponiamo. ed esplicitare la carica q.
Risoluzione dell’Esercizio:
Essendo le quattro cariche identiche, per fare in modo che ognuna di esse sia sottoposta a una risultante nulla è necessario che la quinta carica sia collocata alla medesima distanza da ognuna di esse. Ciò significa che essa dovrà situarsi nel centro del quadrato.
Essa dovrà poi essere negativa, in quanto per equilibrare forze di tipo repulsivo è necessaria una forza di tipo attrattivo.
Analizziamo ora le forze che agiscono su una delle quattro cariche (il ragionamento da fare è il medesimo per tutte):
$$\vec F_{tot}=\vec F_{21}+\vec F_{31}+\vec F_{41}+\vec F_{51}=\vec 0$$
Le forze $\vec F_{21}$ e $\vec F_{31}$ hanno medesimo modulo (in quanto hanno le stesse cariche e la stessa distanza da $Q_1$), ma sono perpendicolari. La loro somma vettoriale sarà dunque un vettore la cui direzione coincide con quella della diagonale del quadrato (che è la stessa direzione di $\vec F_{41}$ e $$\vec F_{51}$) e il cui modulo sarà dato dal teorema di Pitagora:
$$\left|\vec F_{21}+\vec F_{31}\right|
=\sqrt{\left(k_0\frac{Q^2}{a^2}\right)^2+\left(k_0\frac{Q^2}{a^2}\right)^2}=$$
$$=\sqrt{2\left(k_0\frac{Q^2}{a^2}\right)^2
}=\sqrt2 k_0\frac{Q^2}{a^2}$$
Avendo ora vettori con la stessa direzione posso imporre l’equilibrio facendo la somma algebrica (ricordo che la diagonale di un quadrato di lato $a$ è pari a $a\sqrt2$):
$$F_{tot}=\sqrt2k_0\frac{Q^2}{a^2}+k_0\frac{Q^2}{(\sqrt2a)^2}
–
k_0\frac{|q|Q}{\left(\frac{\sqrt2a}{2}\right)^2}=$$
$$=0$$
semplificando e facendo i calcoli ottengo:
$$\sqrt2Q+\frac{Q}{2}-2|q|=0$$
da cui ricavo il modulo della quinta carica:
$$2|q|=\frac{1+2\sqrt2}{2}Q$$
ovvero:
$$|q|=\frac{1+2\sqrt2}{4}Q$$
Ricordando che deve essere negativa:
$$q=-\frac{1+2\sqrt2}{4}Q$$
