Una bombola da sub di forma cilindrica
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Una bombola da sub di forma cilindrica, alta (92 ± 1) cm e di diametro (14,0 ± 0,5) cm contiene (14,8 ± 0,1) mol di aria, alla temperatura di (293 ± 2) K. Calcola la pressione esercitata dal gas sul rubinetto della bombola, con l’incertezza di misura.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi è una bombola da sub di forma cilindrica di cui conosciamo le dimensioni, la capacità “contenitiva” e la temperatura. Determiniamo innanzitutto valore attendibile ed errore relativo del volume della bombola, ricordando che quest’ultimo valore è dalla somma somma dei singoli errori relativi. Analogamente, calcoliamo i due valori relativi alla pressione (applichiamo l’equazione di stato del gas perfetto). A questo punto possiamo ottenere l’errore assoluto della misura, moltiplicando l’errore relativo per il valore attendibile e ricordando he esso deve avere una sola cifra significativa. Scriviamo infine la pressione esercitata dal gas sul rubinetto della bombola con la relativa incertezza.
Risoluzione dell’Esercizio:
Calcolo il valore attendibile del volume della bombola:
$$V=A_{base}h=\pi r^2h
=$$
$$=\pi (0,07m)^2\times0,92m
=
0,014m^3$$
Calcolo anche l’errore relativo (dato dal rapporto tra errore assoluto e valore attendibile della misura) del volume, che è dato dalla somma dei singoli errori relativi:
$$\epsilon_V
=
2\epsilon_r+\epsilon_h
=$$
$$=2\left(\frac{0,25cm}{7cm}\right)
+
\frac{1cm}{92cm}
=
0,0823$$
Determino ora il valore attendibile applicando l’equazione di stato del gas perfetto:
$$pV=nRT$$
da cui:
$$p
=\frac{nRT}{V}
=$$
$$=\frac{14,8mol\times8,3145\frac{J}{mol\cdot K}\times293K}{0,014m^3}
=$$
$$=2,5\times10^6Pa$$
Calcolo l’errore relazione della pressione in maniera analoga a quanto fatto prima:
$$\epsilon_p
=
\epsilon_V+\epsilon_n+\epsilon_T
=$$
$$=0,0823
+
\frac{0,1mol}{14,8mol}
+
\frac{2K}{293K}
=
0,0959$$
Determino ora l’errore assoluto moltiplicando l’errore relativo per il valore attendibile (ricordo che l’errore assoluto deve avere una sola cifra significativa):
$$e_{p}
=
\epsilon_pp
=$$
$$=0,0959\times2,5\times10^6Pa
=0,2\times10^6Pa$$
Dunque la pressione esercitata dal gas sul rubinetto della bombola è di:
$$p=(2,5\pm 0,2)\times10^6Pa$$
