Le molecole di 3.00 moli di gas perfetto
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Le molecole di 3.00 moli di gas perfetto biatomico hanno una velocità quadratica media di 517 m/s. La temperatura del gas è 300 K.
1. Determina la massa molecolare della sostanza che costituisce il gas.
2. Determina la massa del gas.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio ci viene detto che le molecole di 3,00 moli di gas perfetto biatomico hanno una certa velocità quadratica media. Sapendo che la temperatura del gas e l’energia cinetica media di traslazione sono legate, e che, per definizione, quest’ultima grandezza può essere espressa in funzione della velocità, impongo l’equazione risolutiva del problema. Da questa ricaviamo infatti il valore della massa di una molecola di sostanza. Determiniamo perciò la massa molecolare e capiamo che si tratta di azoto molecolare (2 x 14 u = 28 u). Calcoliamo infine la massa totale del gas moltiplicando la massa molare per il numero di moli presenti.
Risoluzione dell’Esercizio:
So che temperatura del gas e l’energia cinetica media di traslazione sono legate dalla seguente relazione:
$$K_m
=
\frac{3}{2}k_bT$$
So anche che, per definizione, l’energia cinetica media di traslazione è pari a:
$$K_m
=
\frac{1}{2}m\langle v\rangle^2$$
Posso perciò impostare la seguente equazione:
$$\frac{1}{2}m\langle v\rangle^2
=
\frac{3}{2}k_bT$$
da cui ricavo che la massa di una molecola di sostanza ammonta a:
$$m_{kg}
=
\frac{3k_bT}{\langle v\rangle^2}
=$$
$$=
\frac{3\times1,381\times10^{-23}\frac{J}{K}\times300K}{\left(517\frac{m}{s}\right)^2}
=$$
$$=
4,65\times10^{-26}kg$$
Perciò, la massa molecolare del gas è di:
$$MM_{gas}
=
\frac{m_{kg}}{1,6605\times10^{-27}kg}
=$$
$$=\frac{4,65\times10^{-26}kg}{1,6605\times10^{-27}kg}
=28u$$
Si tratta dunque di azoto molecolare.
Determino ora la massa del gas moltiplicando la massa molare per il numero di moli presenti e ricordando che la massa molare è pari a $M_{gas}=$$MM_{gas}\frac{g}{mol}$$
=
28\frac{g}{mol}$:
$$m_{tot}
=
nM_{gas}
=
3,00mol\times28\frac{g}{mol}
=
84g$$
