Due cariche elettriche Qa = -6.7 nC
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
Due cariche elettriche Qa = -6.7 nC e Qb = -4,1 nC sono poste rispettivamente in A(-2,1 ; 1,0) e B(1,0 ; -3,0). Le coordinate sono espresse in metri. Determina le componenti del vettore campo elettrico nel punto P(-1,0 ; -2,0) e il suo modulo.
Introduzione all’Argomento:
L’elettrostatica è una disciplina che studia le cariche elettriche statiche (hanno grandezza e posizione invariabili nel tempo), generatrici del campo elettrico. Quest’ultimo è una grandezza vettoriale generata da una carica Q nello spazio. In particolare, esso si definisce come rapporto tra la forza di Coulomb esercitata da una carica Q su una carica di prova q e la carica q stessa. Si tratta di un argomento fondamentale nello studio della fisica, in quanto, insieme a quello magnetico, costituisce il campo elettromagnetico, responsabile dei fenomeni di interazione elettromagnetica. Introdotto da Michael Faraday per spiegare l’interazione tra due cariche poste ad una certa distanza, il campo elettrico si propaga alla stessa velocità della luce e, nel Sistema Internazionale, si misura in N/C (Newton / Coulomb).
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono due cariche elettriche Qa = -6,7 nC e Qb = -4,1 nC poste rispettivamente in A e B. Rappresentiamo graficamente la situazione, in maniera tale da comprendere al meglio quali e come sono orientati i vettori dei campi elettrici che agiscono in P. E’ bene ricordare che, essendo le due cariche negative, il campo elettrico sarà entrante. A questo punto determiniamo il modulo di Ea ed Eb e calcoliamo gli angoli di inclinazione α e β (v. figura) applicando i teoremi dei triangoli rettangoli. Determiniamo infine le componenti dei singoli vettori, allo scopo di ottenere, tramite il teorema di Pitagora, il valore del campo elettrico risultante. E’ bene specificare che i risultati riportati potrebbero discostarsi di qualche decimo. Ciò è dovuto alle diverse approssimazioni effettuate lungo la risoluzione del quesito.
Risoluzione dell’Esercizio:
Essendo le due cariche negative, il campo elettrico è entrante (v. figura).
Calcolo le distanze di A e B da P:
$$d_{ap}=$$
$$\sqrt{(-2,1-(-1,0))^2+(1,0-(-2,0))^2}=$$
$$=3,20m$$
e
$$d_{bp}=$$
$$\sqrt{(1,0-(-1,0))^2+(-3,0-(-2,0))^2}=$$
$$=2,236m$$
Determino il modulo dei campi elettrici generati da A e B in P:
$$E_a
=
k_0\frac{|Q_a|}{d_{ap}^2}
=$$
$$=
8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\frac{6,7\times10^{-9}C}{(3,20m)^2}
=$$
$$=5,88\frac{N}{C}$$
e
$$E_b
=
k_0\frac{|Q_b|}{d_{bp}^2}
=$$
$$=8,988\times10^9\frac{Nm^2}{C^2}\frac{4,1\times10^{-9}C}{(2,236m)^2}
=$$
$$=7,37\frac{N}{C}$$
Calcolo ora gli angoli di inclinazione $\alpha$Â e $\beta$ rappresentati in figura, partendo dai teoremi dei triangoli rettangoli:
$$\tan \alpha=\left|\frac{y_a-y_p}{x_a-x_p}\right|$$
da cui:
$$\alpha
=
\tan^{-1}\left|\frac{y_a-y_p}{x_a-x_p}\right|
=$$
$$=
\tan^{-1}\left|\frac{(1,0-(-2,0))m}{(-2,1-(-1,0))m}\right|
=
69,86^\circ$$
e:
$$\tan \beta=\left|\frac{y_b-y_p}{x_b-x_p}\right|$$
da cui:
$$\beta
=
\tan^{-1}\left|\frac{y_b-y_p}{x_b-x_p}\right|
=$$
$$=
\tan^{-1}\left|\frac{(-3,0-(-2,0))m}{(1,0-(-1,0))m}\right|
=
26,57^\circ$$
Determino ora le componenti dei due vettori:
$$E_{a_x}
=
E_a\cos \alpha
=$$
$$=5,88\frac{N}{C}\cos(69,86^\circ)
=
2,0\frac{N}{C}$$
$$E_{a_y}
=
E_a\sin \alpha
=$$
$$=
5,88\frac{N}{C}\sin(69,86^\circ)
=
5,5\frac{N}{C}$$
$$E_{b_x}
=
E_b\cos \beta
=$$
$$=
7,37\frac{N}{C}\cos(26,57^\circ)
=
6,6\frac{N}{C}$$
$$E_{b_y}
=
E_b\sin \beta
=$$
$$=
7,37\frac{N}{C}\sin(26,57^\circ)
=
3,3\frac{N}{C}$$
Osservando la figura, noto che i componenti lungo l’asse x hanno versi opposti, e idem quelli lungo l’asse y. Perciò:
$$E_{tot_x}
=
E_{b_x}-E_{a_x}
=$$
$$=
(6,6-2,0)\frac{N}{C}
=
4,6\frac{N}{C}$$
$$E_{tot_y}
=
E_{a_y}-E_{b_y}
=$$
$$=
(5,5-3,3)\frac{N}{C}
=
2,2\frac{N}{C}$$
Determino infine il modulo del vettore risultante applicando il teorema di Pitagora:
$$E_{tot}=\sqrt{E_{tot_x}^2+E_{tot_y}^2}=$$
$$=\sqrt{\left(4,6\frac{N}{C}\right)^2+\left(2,2\frac{N}{C}\right)^2}=5,1\frac{N}{C}$$
E’ bene specificare che i risultati riportati potrebbero discostarsi di qualche decimo. Ciò è dovuto alle diverse approssimazioni effettuate lungo la risoluzione del quesito.
