0.52 moli di un gas perfetto compiono un ciclo
Categoria: FISICA |
Testo del Quesito:
0.52 moli di un gas perfetto compiono un ciclo formato da due isoterme e due isocore. Calcola i valori di p, V e T nei quattro stati A, B, C e D.
Introduzione all’Argomento:
Temperatura, pressione e volume sono tre grandezza fondamentali nello studio dei gas. All’interno di questa sezione si studiano infatti trasformazioni di diverso tipo: isocore (volume costante), isoterme (temperatura costante) e isobare (pressione costante). Si distinguono poi i cosiddetti gas perfetti, ovvero quelle sostanze che obbediscono esattamente alle due leggi di Gay-Lussac e a quella di Boyle, dei quali va analizzata l’equazione di stato, e i gas reali, che possono muoversi solamente nel volume lasciato libero dalle altre molecole. Le medesime considerazioni che vengono fatte dal punto di vista macroscopico possono poi essere applicate, con le opportune accortezze e i consueti aggiustamenti, al mondo microscopico.
Analisi dell’Esercizio:
In questo esercizio vi sono 0,52 moli di un gas perfetto che compiono un ciclo formato da due trasformazioni isoterme (temperatura costante) e due isocore (volume costante). Ricaviamo innanzitutto dal grafico alcuni dei valori richiesti. Dopodiché applichiamo l’equazione di stato dei gas perfetti per determinare il valore della temperatura in A. Sapendo che il passaggio da A a B avviene a temperatura costante, calcoliamo il valore pB utilizzando la legge di Boyle. Ripetiamo il medesimo procedimento per calcolare pC. Determiniamo infine la temperatura in C applicando nuovamente l’equazione di stato dei gas perfetti. La risoluzione del quesito è dunque strettamente legata alla nostra capacità di estrapolazione dei dati.
Risoluzione dell’Esercizio:
Ricavo dal grafico i valori di pressione e volume nello stato A:
$$p_A=6,0\times10^5Pa$$
e
$$V_A=3,0\times10^{-3}m^3$$
Determino la temperatura in questo primo stato applicando l’equazione dei gas perfetti:
$$p_AV_A=nRT_A$$
da cui:
$$T_A
=
\frac{p_AV_A}{nR}
=$$
$$=
\frac{6,0\times10^5Pa\times3,0\times10^{-3}m^3}{0,52 mol \times 8,3145 \frac{J}{mol\cdot K}}
=$$
$$=4,2\times10^2 K$$
Il passaggio da A a B avviene a temperatura costante (isoterma; v. testo), dunque:
$$T_B=T_A=4,2\times10^2K$$
Dal grafico ricavo che il volume in B è pari a:
$$V_B=10\times10^{-3}m^3$$
Applico perciò la legge di Boyle per determinare il valore della pressione:
$$p_AV_A=p_BV_B$$
da cui:
$$p_B
=
\frac{p_AV_A}{V_B}
=$$
$$=
\frac{6,0\times10^5Pa\times3,0\times10^{-3}m^3}{10,0\times10^{-3}m^3}
=$$
$$=1,8\times10^5Pa$$
Dal grafico ricavo anche:
$$V_C=V_B=10\times10^{-3}m^3$$
$$V_D=V_A=3,0\times10^{-3}m^3$$
$$p_D=4,0\times10^5Pa$$
Ricordando che la trasformazione tra C e D avviene a temperatura costante (è la seconda isoterma descritta nel testo del quesito), determino la pressione in C applicando nuovamente la legge di Boyle:
$$p_CV_C=p_DV_D$$
da cui:
$$p_C
=
\frac{p_DV_D}{V_C}
=$$
$$=
\frac{4,0\times10^5Pa\times3,0\times10^{-3}m^3}{10,0\times10^{-3}m^3}
=$$
$$=1,2\times10^5Pa$$
Determino ora la temperatura in C applicando l’equazione di stato dei gas perfetti:
$$p_CV_C=nRT_C$$
da cui:
$$T_C
=
\frac{p_CV_C}{nR}
=$$
$$=
\frac{1,2\times10^5Pa\times10\times10^{-3}m^3}{0,52 mol \times 8,3145 \frac{J}{mol\cdot K}}
=$$
$$=2,8\times10^2 K$$
Visto quanto detto in precedenza:
$$T_D=T_C=2,8\times10^2K$$
Dunque, per ricapitolare, si ha che i valori delle grandezze nei quattro stati sono:
$$A
:
\begin{cases}
p_A=6,0\times10^5Pa \\
V_A=3,0\times10^{-3}m^3 \\
T_A=4,2\times10^2K
\end{cases}$$
$$B
:
\begin{cases}
p_B=1,8\times10^5Pa \\
V_B=10\times10^{-3}m^3 \\
T_B=4,2\times10^2K
\end{cases}$$
$$C
:
\begin{cases}
p_C=1,2\times10^5Pa \\
V_C=10\times10^{-3}m^3 \\
T_C=2,8\times10^2K
\end{cases}$$
$$D
:
\begin{cases}
p_D=4,0\times10^5Pa \\
V_D=3,0\times10^{-3}m^3 \\
T_D=2,8\times10^2K
\end{cases}$$
