In uno spettacolo circense, una scimmietta è spinta
Categoria: FISICA | LAVORO ED ENERGIA | LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE
In uno spettacolo circense, una scimmietta è spinta su un carrello verso la sommità di un dislivello. La sua velocità iniziale è di 3,0 m/s, il piano è inclinato di 20° rispetto al piano orizzontale, la massa della scimmietta e del carrello ammonta in totale a 15 kg e il coefficiente di attrito fra il carrello e il piano inclinato è di 0,20. Quale altezza verticale raggiunge?
1) Lavoro ed Energia
In questa unità didattica affronteremo due argomenti nuovi, l’uno strettamente correlato all’altro. Daremo infatti una definizione fisica al concetto di lavoro e mostreremo come esso si lega all’energia. Capiremo poi come questa relazione sia fondamentale per lo studio di quella branchia della fisica che denominiamo dinamica. Lavoro ed energia ci permettono infatti di comprendere a pieno fenomeni che osserviamo quotidianamente. Basti pensare agli sforzi che compiamo quando andiamo a correre, o alla carica improvvisa che acquisiamo quando beviamo una bevanda zuccherata. Si tratta dunque di un argomento che, per quanto possa sembrare astratto e lontano dalla tangibilità, è in realtà estremamente concreto e vicino a tutti noi.
2) Lavoro delle Forze Non Conservative
Abbiamo ampiamente parlato della differenza tra forze conservative e non, analizzando le energie potenziali delle prime e focalizzandoci su di esse. Per concludere il capitolo, passiamo ora a studiare le seconde, il loro comportamento, il loro lavoro e come influiscono sulla conservazione dell’energia totale di un sistema. Daremo dunque tutte le definizioni necessarie per risolvere l’ultima tipologia di esercizi riguardanti “Lavoro & Energia“, così da avere una visione a 360° di questo argomento.
In questo esercizio ci troviamo in uno spettacolo circense, dove una scimmietta è spinta verso la sommità di un dislivello in cui è presente l’attrito. Sappiamo che non vale il principio di conservazione dell’energia meccanica, anzi, varia in una misura pari al lavoro compiuto dall’attrito stesso. Fortunatamente, possiamo esprimere quest’ultima grandezza applicandone la definizione, facendo cioè il prodotto scalare tra forza e spostamento. Sfruttando qualche piccolo escamotage matematico (ad esempio i teoremi dei triangoli rettangoli), possiamo dunque impostare una relazione dalla quale esplicitare l’altezza massima raggiunta dalla scimmietta in funzione della velocità iniziale e del coefficiente d’attrito. A questo punto, non ci resta altro che sostituire i valori numerici, fare i calcoli e ottenere così il risultato.
Sono in presenza di un piano con attrito. Dunque, so che non vale il principio di conservazione dell’energia meccanica, anzi, varia in una misura pari al lavoro compiuto dall’attrito stesso. Ricordando che inizialmente l’oggetto si trova alla base del piano e che alla fine esso si ferma, ho che:
$$L_{att}=E_{m_f}-E_{m_0}=$$
$$=U_f-K_0=mgh-\frac{1}{2}mv_0^2,(1)$$
Questa grandezza può essere però anche espressa tramite la sua definizione:
$$L_{att}=F_{att}\Delta x\cos(180^\circ)=$$
$$=-mg\mu_d\cos(20^\circ)\Delta x,(2)$$
Esprimo ora il tratto di piano percorso prima di fermarsi in funzione dell’altezza a cui si trova. Per farlo sfrutto i teoremi sui triangoli rettangoli:
$$\Delta x=\frac{h}{\sin(20^\circ)},(3)$$
Sostituendo la $(3)$ nella $(2)$ ottengo:
$$L_{att}=-mg\mu_d\frac{\cos(20^\circ)}{\sin(20^\circ)}h,(4)$$
Eguaglio ora quest’ultima relazione con la $(1)$, in maniera tale da poter esprimere l’altezza raggiunta dall’oggetto:
$$mgh-\frac{1}{2}mv_0^2=-mg\mu_d\frac{\cos(20^\circ)}{\sin(20^\circ)}h$$
da cui ricavo che:
$$h=\frac{v_0^2}{2g(1+\mu_d\frac{\cos(20^\circ)}{\sin(20^\circ)})}=$$
$$=\frac{(3,0\frac{m}{s})^2}{2\times9,8\frac{m}{s^2}\times(1+0,20\times\frac{\cos(20^\circ)}{\sin(20^\circ)})}=$$
$$=0,30m$$
Dunque, l’oggetto raggiunge una quota massima $h=0,30m$
