Un’auto parte da un casello autostradale mantenendo
Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO RETTILINEO UNIFORME
Un’auto parte da un casello autostradale mantenendo una velocità vA costante; contemporaneamente una seconda auto parte da un casello situato a una distanza d più avanti del primo, e procede a velocità costante vB con vB < vA. Il casello successivo si trova a distanza 5d dal primo.
1. Trova il punto in cui l’auto A raggiunge l’auto B.
2. Quale velocità deve mantenere l’auto A per raggiungere l’auto B prima del casello successivo?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica“; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
2) Moto Rettilineo Uniforme
Dopo aver visto e analizzato il tema “Velocità“, parliamo ora del moto rettilineo uniforme. Si tratta del moto più semplice che esista, non a caso è il primissimo che incontriamo.
Come ci fa intuire il nome, si tratta di un moto a velocità costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri. Fatta questa doverosa premessa, cominciamo subito con questo nuovo argomento.
In questo esercizio vi è un’auto che parte da un casello autostradale mantenendo. Imponiamo innanzitutto le seguenti condizioni di riferimento: l’origine del sistema di riferimento in corrispondenza del casello autostradale da cui parte l’auto A. Fatta questa premessa, ricaviamo i valori delle posizioni iniziali delle due vetture e ne scriviamo le leggi orarie. Quando A raggiunge B, esse hanno la medesima posizione, pertanto imponiamo l’uguaglianza tra le due equazioni e ricaviamo una nuova relazione dalla quale esplicitare il tempo. Sostituendo il valore appena trovato in una delle due equazioni orarie (è indifferente quale scegliamo perché abbiamo imposto che le due auto siano nella medesima posizione), ricaviamo il punto avviene l’incontro. Determino infine la velocità necessaria affinché l’auto A raggiunga l’auto B prima del terzo casello, sostituendo la $x_{incontro}$ con la distanza di quest’ultimo rispetto all’origine.
Impongo l’origine del sistema di riferimento in corrispondenza del casello autostradale da cui parte l’auto A. Ciò significa che, riguardo alle posizioni iniziali, ho i seguenti valori:
$$x_{0_A}=0$$
mentre:
$$x_{0_B}=d$$
Scrivo le leggi orarie delle due autovetture:
$$x_A=x_{0_A}+v_At=v_At$$
e
$$x_B=x_{0_B}+v_Bt=d+v_Bt$$
Quando l’auto A raggiunge l’auto B, significa che esse assumono la medesima posizione, perciò:
$$x_A=x_B$$
ovvero:
$$v_At=d+v_Bt$$
da cui ricavo che il tempo è pari a:
$$t=\frac{d}{v_A-v_B}$$
Sostituendo il valore appena trovato in una delle due equazioni orarie (è indifferente quale scegliamo perché abbiamo imposto che le due auto siano nella medesima posizione), ricavo il punto in cui A raggiunge B:
$$x_{incontro}=v_A\frac{d}{v_A-v_B}=\frac{v_A}{v_A-v_B}d$$
Determino ora la velocità necessaria affinché l’auto A raggiunga l’auto B prima del terzo casello, che ha una distanza di 5d rispetto all’origine. Nel caso peggiore, il punto di incontro coincide proprio con il terzo casello:
$$x_{incontro}=5d$$
ovvero:
$$5d=\frac{v_A}{v_A-v_B}d$$
semplificando posso scrivere:
$$5(v_A-v_B)=v_A$$
da cui:
$$v_A=\frac{5}{4}v_B$$
Dunque per qualunque velocità maggiore a quella appena determinata, l’auto A raggiunge B prima di arrivare al casello successivo. Vale a dire che ciò accade per:
$$v_A>\frac{5}{4}v_B$$
