Dimostra che la velocità media in un moto
Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Dimostra che la velocità media in un moto uniformemente accelerato dall’istante 0 s all’istante t è:
1. Uguale alla media fra le velocità iniziale e finale;
2. Uguale alla velocità istantanea al tempo t/2.
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica“; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
2) Moto Uniformemente Accelerato
Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.
Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri.
In questo esercizio esercizio ci viene detto di dimostrare che la velocità media in un moto uniformemente accelerato è uguale alla media tra $v_0$ e $v_f$ e alla velocità istantanea in t/2. Si tratta quindi di un quesito privo di numeri, in cui bisogna esclusivamente lavorare sulle formule. Partiamo con l’esplicitare l’accelerazione in funzione delle velocità e del tempo. Scriviamo poi la definizione di velocità media e, sostituendo l’accelerazione, otteniamo quanto richiesto. In maniera analoga procediamo con la velocità istantanea in t/2.
So che, in un moto uniformemente accelerato, l’accelerazione si può esprimere in funzione della velocità:
$$v=v_0+at$$
da cui:
$$a=\frac{v-v_0}{t},(1)$$
So anche che, in un moto uniformemente accelerato, la distanza percorsa in un istante generico t è data dalla seguente equazione oraria (qui analizzo il caso generale, mentre nel PDF considero il caso in cui l’origine del sistema di riferimento coincide con il punto in cui comincia l’accelerazione all’istante 0 secondi):
$$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$$
da cui:
$$\Delta x=v_0t+\frac{1}{2}at^2$$
Determino quindi la velocità media mantenuta durante il moto applicandone la definizione:
$$v_m=\frac{\Delta x}{t}=\frac{v_0t+\frac{1}{2}at^2}{t}=v_0+\frac{1}{2}at$$
sostituendo la $(1)$, ottengo:
$$v_m=v_0+\frac{1}{2}\frac{v-v_0}{t}t=$$
$$=\frac{2v_0+v-v_0}{2}=\frac{v+v_0}{2}$$
Ho quindi dimostrato che la velocità media in un moto uniformemente accelerato è pari alla media aritmetica fra velocità iniziale e finale.
Esprimo ora la velocità istantanea al tempo t/2 applicando la legge della velocità:
$$v_\frac{t}{2}=v_0+a\frac{t}{2}$$
sostituendo la $(1)$:
$$v_\frac{t}{2}=v_0+a\frac{t}{2}=v_0+\frac{v-v_0}{t}\frac{t}{2}=$$
$$=\frac{2v_0+v-v_0}{2}=\frac{v+v_0}{2}$$
Ricordando la dimostrazione precedente tale per cui $v_m=\frac{v+v_0}{2}$, ho che:
$$v_{\frac{t}{2}}=v_m$$
Ho quindi dimostrato che la velocità media in un moto uniformemente accelerato è anche pari alla velocità istantanea al tempo t/2.
