La figura mostra un sistema di due masse
Categoria: FISICA | QUANTITÀ DI MOTO | CENTRO DI MASSA
La figura mostra un sistema di due masse (M = 6,0 kg, m = 3,0 kg) collegate da una fune di lunghezza totale L = 3,0 m.
1. Determina le coordinate della posizione del centro di massa in funzione di d, cioè della distanza dall’origine O della massa m.
2. Il centro di massa può passare per il punto A (0,0 m ; 1,0 m)?
1) Quantità di Moto
In questa unità didattica affronteremo un nuovo argomento riguardante la velocità e la massa dei corpi: la quantità di moto. Si tratta di una grandezza estremamente interessante di cui è abbastanza semplice farsi un’idea in testa. Essa riveste poi un ruolo particolarmente importante nello studio degli urti tra i corpi, permettendone un’analisi approfondita e dettagliata (possiamo, per esempio, comprendere le dinamiche e le motivazioni di come avvengono certi incidenti stradali), e della dinamica rotazionale, macro-argomento che però affronteremo nel prossimo capitolo. Fatta questa brevissima introduzione, partiamo col presentare nel dettaglio la grandezza che dà il titolo a questa unità.
2) Centro di Massa
In questa lezione parliamo di centro di massa, un punto particolarmente importante dal momento che i sistemi spesso si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata in esso. Si tratta di un argomento non particolarmente complicato, dato che riprende concetti già affrontati, ma a cui bisogna prestare particolare attenzione e per cui bisogna avere delle basi solide anche dal punto di vista matematico.
Ne analizziamo innanzitutto le coordinate, per poi passare a vederne il moto, con tutto ciò che comporta (velocità, accelerazione, …)
In questo esercizio ci viene detto che la figura mostra un sistema di due masse collegate da una fune. Fissiamo innanzitutto il sistema di riferimento in corrispondenza della carrucola e orientiamo gli assi. A questo punto, scriviamo le coordinate dei punti in cui si trovano le due masse rispetto al sistema appena scelto. Ora non ci resta che applicare la definizione di centro di massa e calcolare, di conseguenza, la sua posizione.
Fisso l’origine del sistema di riferimento sulla carrucola e lo oriento come in figura.
In questa maniera, la massa M ha coordinate:
$$\bigl(-(L-d);0\bigr)=(-L+d;0)$$
Mentre la massa m:
$$(0;d)$$
Determino ora l’ascissa del centro di massa:
$$x_{cm}=\frac{x_MM+x_mm}{M+m}=\frac{(-L+d)M+0}{M+m}=$$
$$=\frac{(-3,0m+d)\times6,0kg}{(6,0+3,0)kg}=-2,0m+\frac{2}{3}d$$
E l’ordinata:
$$x_{cm}=\frac{y_MM+y_mm}{M+m}=\frac{0+dm}{M+m}=$$
$$=\frac{d\times3,0kg}{(6,0+3,0)kg}=\frac{1}{3}d$$
Perciò il centro di massa ha coordinate $\left(-2,0m+\frac{2}{3}d\ ;\ \frac{1}{3}d\right)$.
Se deve passare per A (0,0 m ; 1,0 m) significa che:
$$\begin{cases}-2,0m+\frac{2}{3}d=0,0m\\\frac{1}{3}d=1,0m\end{cases}$$
Risolvendo ottengo:
$$\begin{cases}d=3,0m\\d=3,0m\end{cases}$$
Ciò significa che le equazioni sono soddisfatte contemporaneamente e quindi il centro di massa può passare per il punto A.
