Un’auto percorre un’autostrada rettilinea
Categoria: FISICA | MOTO RETTILINEO | MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Un’auto percorre un’autostrada rettilinea alla velocità di 126 km/h. Improvvisamente il guidatore si accorge di un ostacolo posto a 120 m di distanza: aziona i freni e l’auto rallenta con accelerazione costante pari a -6,0 m/s2.
1. Quanto tempo impiega l’auto a fermarsi?
2. L’auto riesce a evitare l’impatto con l’ostacolo?
3. Qual è la velocità massima iniziale che permette al guidatore di evitare l’ostacolo nello stesso intervallo di tempo appena determinato?
1) Moto Rettilineo
Storicamente, il moto è il fenomeno fisico più comune, uno dei primi ad essere studiato e analizzato a fondo. La branca generale della fisica che si occupa di ciò si chiama “meccanica“; essa studia infatti come gli oggetti si muovono, come si comportano in presenza di forze esterne e quali grandezze influenzano il moto stesso. In particolare, in questa unità didattica ci soffermeremo sul moto rettilineo, andando ad analizzare due casi: velocità costante e accelerazione costante.
In questa breve pagina introduttiva specificheremo alcuni concetti essenziali per la comprensione e la spiegazione di ciò che affronteremo successivamente, come ad esempio i sistemi di riferimento, la traiettoria, …
2) Moto Uniformemente Accelerato
Dopo aver visto e analizzato il tema “Accelerazione“, parliamo ora del moto rettilineo uniformemente accelerato. Si tratta, in un certo senso, dell’evoluzione del moto rettilineo uniforme, in quanto la velocità non rimane più costante.
Come ci fa intuire il nome, infatti, si tratta di un moto ad accelerazione costante, pertanto è bene aver ben presente tutto ciò che abbiamo affrontato nella lezione precedente, a partire dalle definizioni, fino ad arrivare ai grafici. Qualora qualcosa non fosse ben chiaro, vi consigliamo di andare a riprendere i concetti e farli vostri.
In questo esercizio vi è un’auto che percorre un’autostrada rettilinea alla velocità di 126 chilometri orari. Determiniamo innanzitutto il tempo impiegato dall’auto per fermarsi partendo dalla legge della velocità. Imponiamo poi l’origine del sistema di riferimento nel punto in cui l’auto comincia a decelerare. In questa maniera, possiamo calcolare la distanza percorsa dal veicolo prima di fermarsi completamente. Lavoriamo infine sulle leggi relative al moto descritto dall’esercizio così da trovare il valore massimo della velocità iniziale che permette al guidatore di evitare l’impatto con l’ostacolo.
Determino il tempo impiegato dall’auto per fermarsi partendo dalla legge della velocità relativa al moto:
$$v=v_0+at$$
quando si ferma ho che:
$$0=v_0+at_{fermata}$$
da cui:
$$t_{fermata}=\frac{-v_0}{a}=\frac{-\frac{126}{3,6}\frac{m}{s}}{-6,0\frac{m}{s^2}}=5,8s$$
Posso ora calcolare la distanza percorsa dal veicolo prima di fermarsi sostituendo il valore appena trovato all’interno dell’equazione oraria (impongo l’origine del sistema di riferimento nel punto in cui l’auto comincia a decelerare):
$$x_{fermata}=v_0t_{fermata}+\frac{1}{2}at_{fermata}^2=$$
$$=\frac{126}{3,6}\frac{m}{s}\times5,8s+\frac{1}{2}\times(-6,0)\frac{m}{s^2}\times$$
$$\times(5,8s)^2=102m$$
Ciò significa che l’automobile riesce a fermarsi in tempo e ad evitare così l’impatto con l’ostacolo.
Considero ora il caso in cui il guidatore riesce ad evitare l’ostacolo nello stesso intervallo con velocità iniziale massima. Determino l’accelerazione necessaria affinché ciò avvenga partendo dalla legge della velocità:
$$0=v_0+a_{max}t_{fermata}$$
da cui:
$$a_{max}=\frac{-v_0}{t_{fermata}}$$
Sostituisco quanto trovato nella legge oraria, ricordandomi di imporre che $x_{max}=120m$:
$$x_{max}=v_0t_{fermata}+\frac{1}{2}a_{max}t_{fermata}^2=$$
$$=v_0t_{fermata}+\frac{1}{2}\frac{-v_0}{t_{fermata}}t_{fermata}^2=$$
$$=v_0t_{fermata}-\frac{1}{2}v_0t_{fermata}=\frac{1}{2}v_0t_{fermata}$$
Da cui ricavo che la velocità iniziale massima è pari a:
$$v_0=\frac{2x_{max}}{t_{fermata}}=\frac{2\times120m}{5,8s}=$$
$$=41\frac{m}{s}=41\times3,6\frac{km}{h}=1,5\times10^2\frac{km}{h}$$
